更新时间：2023-06-05 16:54
一元二次方程（quadratic 方程 with one unknown）指的是仅含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。形如：，其中为常数。是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
一元二次方程的历史可以追溯到公元前2250年的四大文明古国和3000年前的古埃及。希腊时代的欧几里得和丢番图也研究了二次方程。印度数学家婆罗摩笈多和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米给出了二次项系数为1的求根公式。中原地区古代的著作《九章算术》和《周算经》也有关于一元二次方程的内容。印度数学家拜斯卡拉给出了正负两根的求根公式。意大利数学家斐波那契系统性介绍了方程理论，而法国数学家韦达和笛卡尔对一元二次方程进行了补充。一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、图像法、求根公式法、因式分解法、计算机法。
一元二次方程在数学问题求解中具有重要的应用。例如根据一元二次方程的计算和计算黄金分割比等等，也可以解决生活问题。
一元二次方程的历史可以追溯到公元前2250年的四大文明古国，古巴比伦人将此类的代数问题刻在泥板上，用以解决矩形面积问题。在发现于卡呼恩（Kahun）的两份古埃及纸草书上也出现了用试位法求解二次方程的问题。公元前300年前后，数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命题5、命题6以及卷VI命题12、命题13的内容可以被视为二次方程的几何解。继欧几里得之后，丢番图（Diophantus）在他的著作《算术》（Arithmetica）中提出了许多二次方程或可归结为二次方程的问题。不过，丢番图在求解二次方程时通常只取一个根，如果方程有两个正根，他会选择较大的一个。中国古代也很早就有对一元二次方程研究的记载。例如，秦汉的数学著作《九章算术》中，提出了一种“开带从平方”法求解一元二次方程。同时期的另一部著作《周髀算经》已经给出了一元二次方程的公式化解法。
公元7世纪和9世纪时，印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta)和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米（Al - Khwarizmi）先后给出了二次项系数为1的方程的求根公式，但只给出了正根部分。公元1150年，印度数学家拜斯卡拉（Bhaskara Acharya）对一元二次方程方程的一般形式进行研究，同时给出了正负两个根的求根公式，与现代求根公式是一致的。十三世纪，斐波那契（Fibonacci）在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中系统介绍了印度－阿拉伯数码，二次和三次方程以及不定方程理论。随着欧洲人在代数领域的深入研究，包括一元二次方程在内的数学知识进一步向前发展。法国数学家韦达（F.Vieta）解释了一元二次方程根与系数的关系。1637年，勒内·笛卡尔（RenéDescartes）完成了对韦达代数符号的改进。
基本条件
条件一：它是一个等式；
条件二：等式中只含有一个未知数；
条件三：等式中未知数的最高次数为2；
条件四：等式中未知数的二次项系数不能为0。
一般地，形如(为常数，且)的函数叫做二次函数，其中是自变量。二次函数与轴的交点为一元二次方程的根。若一元二次函数图像与轴有两个交点，有两个相等的实数根，则方程有两个不同的实数根。若函数图像与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根。若函数图像与轴没有交点，则方程没有实数根。
一元二次方程（）可以简化为，根的性质也可简化为两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。即，。
关于的一元二次方程（）可以通过二次函数来表示。二次函数可通过配方法化简成（）²+的形式，，。即（）²+。由表达式可知的对称轴为，顶点坐标为。
对于二次函数（），
当时，与轴有两个交点，如上图1所示。
当时，与轴有一个交点，如上图2所示。
当时，图像与轴没有交点，如上图3所示。
如果。当时，随的增大而增大。当时，随的增大而减小。如上图4所示。
如果。当时，随的增大而减小。当时，随的增大而增大。如上图5所示。
直接开平方法主要适用于没有一次项的一元二次方程，例如
当时，方程有两个不等的实数根，
当时，方程有两个相等的实数根，
当时，方程无解。
对不能直接开平方的一元二次方程，在方程两边同时加一次项系数一半的平方，通过降次将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再完全开平方。
例如（系数化为1并移项）
（）²＝（）²（配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方）
（）²＝（）²（整理）
（开方）
（整理）
（整理）
∴
当时
方程为
（移项）
（配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方）
（整理）
（完全开平方）
。
关于x的一元二次方程可以通过做出二次函数（）²来解决。一元二次方程（）的根就是它所对应的二次函数函数值为0时，自变量x的值。即二次函数图像与x轴交点的横坐标。例如当＝（）²。可知此二次函数图像的对称轴为，顶点为（）。当。所以其图像如下所示，与横坐标的交点为（-1，0）和（-7，0）。则为方程的根。
解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法
任何一元二次方程都可以写成（）的形式，通过配方法解此方程。
（移项）
（二次项系数化为一）
（）²＝+（）²（配方）
方程K：（）²＝（整理）
。式子的值有以下三种情况
（1），。由K得，方程有两个不等的实数根，
（2），。由K可知，方程有两个相等的实数根，。
（3），。由K可知，（)²<0，因此方程无解。
例如。
，∴（）
一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ来表示。当Δ≥0时，方程的实数根可写为 的形式
例如。
，∴（）
一元二次方程，当时，该方程在实数域无解。但在复数域有解，通过虚数（虚数单位），一元二次方程总有两个根。
实数根：（）
虚数根：（）
一般来说，三次方程可化为一个一次方程和一个二次方程，例如三次方程
可化为（）（）
，
解得：这样方程恰好有3个根。
一元二次方程的根是由系数确定的，两根之和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。
假设一元二次方程的两个根分别为。
由求根公式可得
（），（）
∴，。
根据韦达定理找出两根关系，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形状，再使这两个一次式分别等于0。从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。而这两个一次方程的解即为原方程的两个解。
例如根据两根关系 ，。
∴（）（）＝0
用计算机解一元二次方程，程序中用disc代表；p表示；q表示；p+q表示；p-q表示，先计算 disc 的值，以减少以后的重复计算。在计算过程中，若，则输出方程无实根（This equation hasn't real roots）。若disc≥0，则求出方程两个实根＝p+q；p-q；再输出方程两个根。
对于一元n次方程为方程的n个根，则它们满足以下关系：
解方程 。
解：去分母即得一个一元二次方程
解得，
经检验都是原方程的根。
解方程 。
解无理方程常用的方法是将原方程变为有理方程求解。
解: 原方程可变为
两边平方可得
整理可得，
解得。
黄金分割比在数学、美学等领域都有广泛应用。它可以通过从一个大矩形中裁去一个正方形来得到。这个大矩形的主要特点是，当从中裁去一个正方形后，所剩下的小矩形仍保持着原先大矩形的形状，也就是长宽比相等。这个长宽比被称为黄金分割比，通常用希腊字母φ（phi）表示，其值约为0.61803398875。
如上图所示，假设矩形的长为，宽为1（长宽比为），切去一个正方形后，剩下的小矩形长为1，宽为，大小矩形的长宽比相等，因此有
上述方程可整理为一个一元二次方程，即
求解该方程可得：
即为黄金分割比，满足该长宽比的矩形也称为黄金矩形。
收费问题： 一城市出租车的收费标准如下表，一人打车去某公司办事，停车后，打出的电子收费单为“里程11公里，应收 29.1元请付29元”求基本价()
解：由题可得
()
∴（）（）=0
∵
∴
答：出租车的基本价为每千米10元
疾病传播问题：要舍去不合题意的负数根。例如：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患上流感。求每轮传染中平均一个人传染给几个人。
设每轮平均一个人传染x人，
可列方程（）＝121，
（不合题意，舍去）
∴
增长率问题：年前生产1吨药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨药品的成本是3000。求该药品成本的年平均下降率。设药品成本的年平均下降率为，则一年后药品成本为（）元，
两年后药品成本为（）²元，
于是有（）²
解的（不合题意，舍去）