在数学中，一般线性群是指基域K上n×n 可逆矩阵全体组成的矩阵乘法群。在任何域 F或环 R上的 n 次一般线性群是带有来自 F（或 R）的元素的 n×n 可逆矩阵的群，带有矩阵乘法作为群运算。典型符号是 GLn(F)或 GL(n, F)，如果域是自明的也可简写为 GL(n)。

简介

如果V是在域F上的向量空间，V的一般线性群，写为或，是V的所有自同构的群，就是说所有自同构的集合，和与之一起的函数复合作为群运算。如果V有有限维n，则和是同构的。这个同构不是规范的；它依赖于在V中基的选择。给定V的一组基 和中自同构T，则

对于某些F中的常量；对应于T的矩阵就是由作为元素的矩阵。

以类似的方式，对于交换环R群可以被解释为n秩的自由R-模的自同构的群。还可以对任何模定义，但是这一般不同构于（对于任何n）。

定义

一般线性群亦称全线性群。一类重要的典型群。若V是体K上n维右线性空间，则V上全体可逆线性变换在映射的乘法下构成一个群，称为V上的一般线性群或全线性群，记为。体K上全体可逆方阵在矩阵乘法下构成一个群，称为K上n次一般线性群，记为或。取定V在K上任一组基后可将每个对应一个矩阵，从而得到到上的一个同构。在这个意义下，可以将与等同起来。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，;

(2)结合律，即;

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得，，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，约瑟夫·拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年首先提出的。

典型群

典型群是一类重要的群。一般线性群、酉群、辛群、正交群，以及它们的换位子群、对中心的商群等统称为典型群。实数域和复数域上的典型群是李群的重要例子，它们的构造及表示在李群理论、几何学、多复变函数论以至物理学中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通过对有限域上典型群的构造的研究得到了一大批有限单群。这是继交错群之后人们发现的又一批重要的有限单群系列。经过谢瓦莱(Chevalley，C.)的工作进一步扩展为有限李型单群的系列后，为有限单群分类的最后完成奠定了一个重要基础。迪厄多内(Dieudonné，J.)将迪克森的工作加以推广，通过研究任意体上的典型群的构造也得到了大量的单群。迪厄多内、施赖埃尔(Schreier，O.)、范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)、华罗庚、万哲先等对研究典型群的构造、自同构及同构作出了重要贡献。

相似群

酉群

酉群是一类重要的典型群。在复数域的特殊情形，全体酉方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次酉群，记为U(n)。一般地，设K是带有对合的体，V是K上n维列向量空间，是V上非退化厄米特型或反厄米特型，这里且。若使对所有的成立，则称A是关于f的酉变换。关于f的全体酉变换组成的一个子群，称为关于f的酉群，记为。从矩阵的观点看，。当f是交错双线性型时就是辛群;当K的特征≠2且f是对称双线性型时就是正交群;当K是复数域，J是复共轭，时，酉群就是酉群U(n)。

辛群

辛群是一类重要的群。辛空间的自同构群。设是一辛空间，若是线性同构且满足，，则称φ为的一个自同构.的自同构全体构成群的一个子群，记为。特别地，标准辛空间(K，ω)的自同构群记为。若(实数域)，则把简记为并称它为2n维辛群。

正交群

正交群是一类重要的典型群。在实数域的特殊情形，全体正交方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次正交群，记为O(n)。一般地，设V是域K上n维列向量空间，是V上的非退化二次型(A是K上某个矩阵)，若使对所有的成立，则称g是关于Q的正交变换。关于Q的全体正交变换在映射乘法下构成一个群，称为关于Q的正交群，记为.当K的特征≠2时，V上每个非退化对称双线性型f也决定一个正交群：

其中.当K是实数域，Q是单位二次型时的正交群就是O(n)。

参考资料