次数大于零的多项式称为在数域P上是可约的，如果它可以表示为中两个次数均大于零的多项式的乘积；否则就称在P上不可约。

设，，如果不能表示成数域F上两个次数比它低的多项式的乘积，则称是数域F上的不可约多项式。其中，零多项式和零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的；多项式的可约性与多项式所在的数域有关。

概念

不可约多项式，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。

有理系数的多项式，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“不可约多项式”。相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。

“不可约”的意义随系数范围而不同。在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。

一种重要的多项式。它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或既约多项式；如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。一个多项式是否可约，与其基域有关。例如，在有理数域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。

数域P上的不可约多项式有如下的基本性质：

1。若p(x)不可约，且，则也不可约。

2。若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则或者。

3。若p(x)不可约，且，则或者。

判定

定理1

爱森斯坦判别法：设 是整系数多项式，若有一个素数p使得：

（1）p不能整除

（2）p整除

（3）不能整出

那么 在有理数域上不可约。

注：定理1的证明通常采用“反证法”

定理2

爱森斯坦判别法的等价判别定理：设 是整系数多项式，若有一个素数p使得：

（1）p不能整除

（2）p整除

（3）不能整出

那么在有理数域上不可约。

注：定理1和定理2 都只是判定整系数多项式在有理数域上不可约的充分不必要条件，这就是说不满足定理1和定理2的判定条件的多项式可能是不可约的。

性质

1、不可约，则对任意。

2、不可约，则对任意的非零，不可约。

3、（1） p(x)不可约，则对任意的， ，得到 或。

（2），对任意 ，可推出得到 或，得到p是不可约多项式。

证明

例1。若p为质数，求证有理系数多项式 在有理数域上不可约。

证明：是整系数多项式

因为P为质数，整系数多项式 符合爱森斯坦判别法，所以整系数多项式 在整数环上不可约，即整系数多项式 在有理数域上不可约。由此可得多项式 在有理数域上不可约。

应用

若m，n为自然数，且m，求证不是任意m次整系数多项式的根。

证明：根据爱森斯坦判别法可知，多项式是一个在有理数域上不可约n次多项式，且是多项式的根。

因为，则对任意的m次多项式g（x），总有多项式互素；

即多项式没有公共根，所以不是任意m次多项式的根（）。

参考资料