五色定理是图论中的一个结论：将一个平面分成若干区域，给这些区域染色，且保证任意相邻区域没有相同颜色，那么所需颜色不超过五种。五色定理是比四色定理弱的定理，但是比四色定理更容易证明。1879年，阿尔弗雷德·布雷·肯普给出了四色定理的一个证明，当时为人所接受，但11年后，珀西·约翰·希伍德却发现了肯普的证明中存在错误，他把肯普的证明加以修改，得到了五色定理。

背景及简介

1879 年英国律师出身的数学家肯普在美国数学杂志上发表一篇论文。他声称自己已经解决了四色问题。并因其对数学的贡献最终被封为爵士。他用归谬法证明“四色猜想”，提出了“不可避免集”的构形和构形的可约性。他用肯普链的方法证明，如图1，如果一个顶点 V与 5 个其他用四种颜色着色的点邻接，那么总能多出诸颜色之一来给 V着色，他用了邻接点交错着色的道路（肯普链），交换这些道路上的颜色，以便空出一种颜色给 V。

1890 年英国著名数学家希伍德发表了一篇论文。这篇论文震动了数学界。他举出了“有名反例”，如图 2。在肯普看上去解决了这个问题之后 10 年，希伍德用这个“反例”揭示肯普证明四色问题有重大缺陷，并证明反例是 5- 色的，如图2 到图 7。从而希伍德指出：“如果‘四’换成‘五’这个猜想就对了”。他否定了肯普“四色猜想”的证明。肯普失败了。同时希伍德证明建立了“五色定理”。

从此人们把图分为可约图和不可约图，可约图是 4- 色的，不可约图是 5- 色的，即不可约图有 3 个特征：（1）图是最大平面图；（2）图是 5-色的顶点着色法；（3）图是临界的收缩。希伍德的“反例”就是不可约图。希伍德的反例和他的“五色定理”的存在，使人们产生了误解中的“四色猜想”，即只证可约图（平面地图），而不证不可约图（球面地图），一直流传至今。谁也不敢反对它，把它视为真理。这样一来的100 多年，彻底解决“四色猜想”的研究，就被希伍德的“反例”和他的“五色定理”占了统治地位。尽管世界上一些数学家仍然孜孜不倦地致力寻求彻底解决“四色猜想”的研究，就是 1976 年和 1996 年美国多位学者验证的“四色猜想”只有可约图，而没有不可约图。所以都超不出希伍德的“反例”和“五色定理”的范围。

希伍德证明的“五色定理”

希伍德证明“五色定理”如下：“不妨设五种颜色是红，白，黄，黑，蓝。对顶点数用数学归纳法来证明。当顶点数 V=1、2、3、4、5 时，定理显然成立。设顶点数 V=K （K ≥6）时定理也成立，我们考察 V=K+1时的情形。由引理，在这个平面图中存在一个顶点 v ，它的度数小于或等于 5。现在我们将此顶点 v 除去，剩下来的是一个顶点数为 K 的平面图，由数学归纳法的假设，可以用红，白，黄，黑，蓝五种颜色将它（即除去 v的图）涂好。然后再把v点加进去，看看 V 应该涂哪种颜色才好”……就这样，希伍德证明了，当顶点 V=K+1（V ≤ 5 度）时，“五色定理”成立，从而宣告“五色定理”证明成功。

希伍德用肯普链证明如下：“用字母 b、r、y、g 表示四种颜色，一条从 V1 到 Vn 的其点交错地着有颜色 r 和 g 的通路称为一条从 V1 到 Vn 的r- g 链。

（1）如图 3所示，有一条从 2 到 4 的 b- g 链，也有一条从 2 到 5 的 b- y 链，因此在任一条链上交换颜色都不能空出一种颜色给 V。

（2）如图 4所示，没有从 1 到 4 的 r- g 链。因此可以沿 r- g 链从1 开始交换r 和g（括号中的颜色）。

（3）如图 5所示，但这空不出 r 给 V，因为与 V 相邻的 3也是着r 色。

（4）如图 6，显然这可以变到一个 y，但如果我们试图这样从 3 开始沿 r- y 链交换 y 和 r。

（5）如图 7所示，那么 6 和 7 都变成 r。这样就可能使得即使每次交换移动一个 r，但仍不能同时移去两个 r"。

从以上希伍德的证明可得出结论：希伍德证明不下去了。它不能空出一种颜色给 V，V只能着第五种颜色。因此反例是 5- 色的。

希伍德在证明“反例”上的重大错误

由于希伍德没有看出：“当交换 r- g 后，已经破坏了从 2到4 的b- g 链，如图5，而形成新的从 3 到 5 的 r- y 链。”如图 8。所以当他试图再交换 r- y 链而没有经过 7点时，当然出现 6 和 7 都变成 r。如图 7，如果经过 7 点继续交换下去，也不能空出一种颜色给 V，如图 9。以上就是希伍德在证明反例上有重大错误的秘密。所以说希伍德的证明是错误的。

希伍德证明存在的问题

数学归纳法与希伍德证明

数学归纳法是用来证明那些无穷大又与自然数 n 有关的数学命题，即n ∈ N。因为自然数 n是具有递推的规律。所以与自然数 n 有关的数学命题可以归纳为两个步骤：（1 ）证明当 n取第一个值 n0（例如 n0=1 或 2 等）时结论正确；（2）假设当 n=k（k ∈ N，且 k≥ n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确。因此就能证明数学命题从 1 开始的所有自然数 n都成立。

希伍德企图以自然数代替顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”成立，那是不可能的。因为希伍德证明的数学命题是与顶点数 V （变数）有关的“五色定理。顶点数 V 是一个没有规律的“变数”，它不具备像自然数一样的递推规律。所以与顶点数V（变数）有关的数学命题不可以归纳为两个步骤来证明。因此“五色定理”不能对顶点数（变数）用数学归纳法来证明。

错误

希伍德对顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”有以下几个原则性的错误：

（1）在图中各顶点不同，度数不同，因为度数是一个“变数”，所以各顶点也是“变数”，也就是说顶点数 V 是一个“变数”，而 n 是一个自然数。自然数 n 与顶点数 V 是两个不同的概念，不能混淆，因此自然数不能代替顶点数（变数）。而希伍德却以自然数代替顶点数，不考虑顶点的度数是“变数”，混淆了“变数”与“自然数”的概念，从而犯下了基本概念的错误。

（2）数学归纳法两个步骤的第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，两者缺一不可。希伍德在证明“五色定理”的第二步骤中：(1)“设顶点数 V（变数）=k（回避k N，k ≥6）时，‘五色定理’成立”是没有根据的，（2）当顶点数 V=K+1（有意选用 V ≤ 5 度的顶点而回避V≥6度的顶点）时，“五色定理”成立。所以 V ≤ 5 度的顶点可以递推，而 V ≥ 6 度的顶点就不可以递推。因为 V>=6 度的顶点与 V ≤5 度的顶点的度数范围不同，它们递推的依据也不同，所以第二步就不是V ≥ 6 度的顶点的递推依据，V ≥ 6 度的顶点就没有递推依据，无法递推，“五色定理”就无法成立。如图 10：第二步中，当顶点数 V=K+1（V ≤ 5 度）时“五色定理”成立。但当 V = K + 2（V=7 度）时，它与顶点 V ≤ 5 度的度数范围不同，所以第二步不是它的递推依据，它就没有递推依据，它无法递推，“五色定理”无法成立。因此希伍德在证明“五色定理”的第二步骤中，因没有考虑 V ≥ 6 度的顶点（变数）没有递推依据就无法递推，而使“五色定理”无法成立。这在逻辑推理上犯了不足为据的错误。

（3）过程中：(1)根据数学归纳法的理论，希伍德提出对顶点数用数学归纳法来证明“五色定理”成立，就必须满足图中的每一个顶点（变数）“五色定理”都成立。(2)而希伍德只用 V ≤ 5度的顶点，作为第 K+1 个顶点来证明“五色定理”成立，而没有证明图中 V≥ 6 度的顶点“五色定理”成立，就宣告成功。可看出(1 )和(2)相互矛盾。这种企图以 V ≤ 5 度的顶点代表所有度数的顶点，在逻辑推理上犯了“以偏概全”、“以局代整”的错误。根据数学归纳法只能用来证明与自然数有关的数学命题，它不能用来证明与自然数无关的数学命题。而希伍德却提出对顶点数(变数)，套用数学归纳法的格式来证明与自然数无关的数学命题“五色定理”，这种证明的方法，是完全错误的。希伍德证明的“五色定理”根本站不住脚。根据推翻的定义：根本否定已有（希伍德证明了“五色定理”）的说法，当然希伍德的“五色定理”也就被推翻了。

参考资料