更新时间：2024-09-20 19:45
全概率公式（英文：Total Probability 公式）是概率论中的重要公式，为计算复杂概率问题提供了一条有效途径。其基本思想是把复杂随机事件分解为若干个互不相容的简单事件之和，通过计算这些简单事件的概率，再运用概率的加法公式和乘法公式求得所需结果，使计算化繁为简。
全概率公式可以通过可列可加性公理以及乘法公式进行证明。弱化全概率公式定义中完备事件组的条件，可得出广义全概率公式。全概率公式也可推导出贝叶斯定理，它们通常可以结合使用。
全概率公式广泛应用于电力、水利、医药、经济、金融等领域，如制药中可利用全概率公式评分法结合正交设计对配方和制药工艺进行优化，通过全概率公式可以更好地理解和预测事件发生的可能性，从而做出更准确的决策。
设试验的样本空间为，为的事件，为的一个完备事件组，且，则。
某手机制造企业有两个生产基地，一个在S市，一个在T市，但都生产同型号手机。S市生产的手机占总数的60%，T市的占40%，两个基地生产的手机都送到两地之间的一个中心仓库，且产品混合放在一起。从质量检查可知S市生产的手机有5%不合格；T市生产的手机有10%不合格。求从中心仓库随机抽出一个手机是不合格品的概率。
解：以表示抽到的是S市生产基地生产的手机，和构成了样本空间的一个完备事件组，表示抽到不合格的手机，则由已知条件知：
，，，
由全概率公式得：
即从中心仓库随机抽出一个手机是不合格品的概率为。
概率的可列可加性公理：
若为两两互不相容的事件，则有。
概率的乘法公式：
概率的乘法公式是求一随机试验中多个事件同时发生的概率的一般公式。设为随机试验中的两个事件，且，则有，该公式表示两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以第一个事件发生条件下第二个事件发生的概率。更一般地，有下面公式：设为一事件组，且，则。
证明：
因为试验的样本空间为，为的事件，即：
且互不相容，所以由有限可加性及概率的乘法公式得
全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，是一种求解复杂事件概率的方法，通常把复杂随机事件分解为若干个互不相容的简单事件之和，通过计算这些简单事件的概率，再应用概率的加法公式和乘法公式求得所需结果，使计算化繁为简，关键是根据问题本身对样本空间做一个合理的划分。
从全概率公式的定义可知，使用全概率公式计算目标事件的概率，必须要找到样本空间的一个完备事件组，而这一完备事件组恰恰可以理解为是产生事件的个原因。全概率公式相当于将产生的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在。概括地说，“全”指的是对目标事件有贡献的全部原因，应用中要将全部原因找出来，缺一不可，才构成样本空间的完备事件组。
完备事件组：
设是一组互不相容事件（即），且，则称事件组为样本空间的一个完备事件组。
条件概率公式：
条件概率是指在某随机事件发生的条件下，另一随机事件发生的概率，记为。条件概率可以通过下列公式计算：设，则有，或。推广到多个事件的情况下：设为一事件组，且，则。
设为一概率空间，为中任意事件列（相容或不相容，有限或可列无限多个），使得对一切有，且，令，则对一切有。
此推论去掉了全概率公式定理中“为的一个分割”这一条件，取而代之的是“为事件域中任何事件列（相容或不相容均可）”，弱化了全概率公式定义中“完备事件组”这个条件，这使得已知事件列无论是相容的还是不相容的，都可以直接运用该公式进行计算，具有重要的应用意义。
设有维概率空间，其中，为的一个分割，则对一切有，其中为第个样本空间分割的指标集。
设为样本空间的一个完备事件组，，为满足条件的任一事件，则。
推导证明：
由条件概率公式的定义可知，对该式的分子用乘法公式、分母用全概率公式得，，即得。
全概率公式是通过已知每种“原因”发生的概率或，求“结果”发生的概率，这里的和又称为“先验概率”。而贝叶斯公式则是从已知“结果”发生的条件下分析是由各个可能“原因”引起的条件概率和，所以也有人把贝叶斯公式看成是用来解决“已知结果，分析原因”的问题。这里的和又称为“后验概率”。
概率潮流是反映电力系统中各种因素随机变化对系统运行的影响，通过概率潮流的计算能够比较深刻和全面地反映随机性因素对电力系统的节点电压、支路功率等状态变量的影响。现代电力系统规模庞大，结构复杂，致使可靠性评估计算中涉及到的元件众多，系统分析复杂，常常面临所谓“计算灾害”问题，例如传统的蒙特卡罗计算法存在计算时间与计算精度的矛盾，即为了获得精度较高的可靠性指标需要进行长时间的模拟计算，而基于全概率公式的概率潮流计算使得随机变量的数字特征、所拟合的概率密度函数和累积分布函数具有和千万次抽样蒙特卡罗法相等同的精度，非常适合现代电力系统的管理运用。
人类通过修建水库、引水灌溉等水利工程进行水资源调控，这种大规模的水事活动对河川径流形成一定程度的影响，缓解或解决了流域水资源的供需矛盾，但也改变了河川径流的天然状态，同时土地开发、水土保持、气候变化等也不同程度地改变河川径流情势，这使得径流序列在水事活动影响前后将不能认为是同一总体。而传统的水文频率计算要求水文事件发生值服从同一总体分布，计算受到限制，此时应用全概率公式可以给出更好的算法。应用全概率公式可推导出具有跳跃变异的非一致分布水文序列频率的计算公式，该式可以灵活地选用常用的频率分布组成混合分布，不需要进行水文资料的还原计算，借助于现有的统计计算函数包可完成频率计算。
全概率公式在医药学领域也有广泛应用。传染病防控工作的实际调查中，传染病流行期出行问题属于敏感或隐私问题，被调查者可能担心出行后会被隔离或限制活动，因此不排除少量居民隐瞒谎报信息的情况，可根据全概率公式估计被调查者谎报出行的概率，并以此进行危害分析，指导传染病防控工作的决策，提高防控工作效率，以降低病毒传播率。制药中可利用全概率公式评分法结合正交设计对配方和制药工艺进行优化。
全概率公式在经济学中亦有广泛应用。资源税改革是当前经济工作中的热点问题，在制定资源税征收预期的过程中，利用全概率公式推导出各时刻征收资源税的概率，进而建立了征收预期下的优化开采模型，得到保证资源有效开采的资源税表达式。通过模型推导，政府要使企业有效开采资源，施加的政策预期应在未来可以转换为资源税。政策预期过程中，企业对未来的税收可能有两种理解，一种是上缴税收，另一种则是政府补贴给企业，参数大小的变化也会加强和减弱政策预期的影响。
全概率公式在投资、保险等一系列不确定问题中亦发挥着重要作用，例如保险公司建立索赔模型，以此希望其产品获得好的利润，全概率公式可以用来解决含有多个不同类型随机变量的问题，在实际应用中，可以利用随机变量的联合分布、条件分布及边缘分布将全概率公式推广，将一个边缘密度分解成条件密度，使所要解决的问题简化。