公倍数（common multiple），初等数论的基本概念之一，是两个及两个以上的非零整数的共同的倍数，其定义为：设a1,a2,...,an是n个不等于零的整数，如果a1|m,a2|m,a3|m,...,an|m，那么m叫做a1,a2,...,an的公倍数。

与公倍数相关的概念是公约数。在公倍数集合上取最小可衍生得到最小公倍数的概念。它具有一些基本性质，如公倍数一定是最小公倍数的倍数。最小公倍数可通过分解质因数等方法进行求解。

公倍数在现实生活中具有广泛的应用价值，如在工程学中，公倍数规律可用来设计互联互通的不同交路方案，保证行车间隔的均匀性。

定义

定义：一般地，设是个均不等于零的整数。如果，那么叫做的公倍数。此外，以记的所有公倍数组成的集合。当时，就是的所有倍数组成的集合。

例如，，集合是和的公倍数集合。

相关概念

公因数

定义：如果是整数，且和都是正整数，若，那么叫做的公因数。

公因数中的最大的那一个数叫做的最大公因数，最大公因数是其他公因数的倍数。如果是的最大公因数，记为。

衍生概念

最小公倍数

定义

一般地，设整数均不等于零，把的正的公倍数中的最小的称为的最小公倍数，记做。

性质

1.如果是个不等于零的整数，则。

2.公倍数一定是最小公倍数的倍数。

3.的充要条件是。

推论：设是非零整数，是的一个公约数，且，则

（1）。

（2）。

该推论表明，在求最小公倍数时，可把任何正的公因数提出来。

4.两个数的最小公倍数乘以它们的最大公因数就等于这两个数的乘积的绝对值，即。

推论：若是正整数，则。

5.在一组正整数中，若最大的那个正整数恰是其余各数的倍数，则该数即为这组数的最小公倍数；

求解

方法1：如果想求几个正整数的最小公倍数，可先将它们分别分解质因数，并且写成乘方形式，在它们的公有因数里取指数最大的幂，而不同的因数则都取来相乘。

例1 求和的最小公倍数。

解：对三个数分解质因数可得，，。

则有。

答：和的最小公倍数为。

方法2：由最小公倍数与最大公因数的关系，即来求解。

例2 求和的最小公倍数。

解：先由辗转相除法求出和的最大公因数，即

，

，

，

，

，

。

所以。

于是有。

答：和的最小公倍数为。

应用

化学

在化学中，已知化合物中某元素的质量求分子式的问题可应用公倍数法进行求解。例如，已知某金属M能形成两种氧化物，取一定质量的两种氧化物分别与一氧化碳反应，得到的金属M质量一样，且其中一种氧化物的分子式已知。若要求解另外一种氧化物的分子式，可先把所有分子式中M的右下标放大为下标数的公倍数，那么由反应前后的质量差与分子式中氧的含量关系，即可求得两种氧化物的氧元素之比，从而求得另一种氧化物的可能分子式，最后与所有分子式进行化简对比，即可求得。

工程学

互联互通是城市轨道交通的发展趋势之一，在设备设施实现互联互通的基础上，可通过研究列车运营组织的互联互通，应用互联互通交路行车间隔为跨线前线路、跨线后线路行车间隔公倍数的整数倍的关系，即公倍数规律来设计互联互通不同交路方案行车间隔关系，保证行车间隔的均匀性。

参考资料