几何布朗运动（GBM）（也叫做指数布朗运动）是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动。几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。

专业定义

随机过程St在满足以下随机微分方程（SDE）的情况下被认为遵循几何布朗运动：

dSt=μStdt+σStdWt

这里Wt是一个维纳过程，或者说是布朗运动，而μ（'漂移百分比'）和σ（'波动百分比'）则是常量。

运动特性

给定初始值S，根据伊藤积分，上面的SDE（【数】随机导数方程式）

有如下解：

St=S0exp（（μ−σ2/2）t+σWt），

对于任意值t，这是一个对数正态分布随机变量，其期望值和方差分别是

E（St）=S0eμt，

Var（St）=S20e2μt（eσ2t−1），

也就是说S的概率密度函数是：

fSt（s;μ，σ，t）=12π−−√1sσt√exp⎛⎝⎜⎜−（lns−lnS0−（μ−12σ2）t）22σ2t⎞⎠⎟⎟。

根据伊藤引理，这个解是正确的。

比如，考虑随机过程log（S）。这是一个有趣的过程，因为在布莱克-舒尔斯模型中这和股票价格的对数回报率相关。对f（S）=log（S）应用伊藤引理，得到

dlog（S）=f′（S）dS+12f′′（S）S2σ2dt=1S（σSdWt+μSdt）−12σ2dt=σdWt+（μ−σ2/2）dt。

于是Elog（St）=log（S0）+（μ−σ2/2）t。

这个结果还有另一种方法获得：applyingthelogarithmtotheexplicitsolutionofGBM：

log（St）=log（S0exp（（μ−σ22）t+σWt））=log（S0）+（μ−σ22）t+σWt。

取期望值，获得和上面同样的结果：Elog（St）=log（S0）+（μ−σ2/2）t。

运动应用

在金融中

主条目：布莱克-舒尔斯模型

几何布朗运动在布莱克-舒尔斯定价模型被用来定性股票价格，因而也是最常用的描述股票价格的模型。

使用几何布朗运动来描述股票价格的理由：

• 几何布朗运动的期望与随机过程的价格（股票价格）是独立的，这与对现实市场的期望是相符的。

• 几何布朗运动过程只考虑为正值的价格，就像真实的股票价格。

• 几何布朗运动过程与在股票市场观察到的价格轨迹呈现了同样的“roughness”。

• 几何布朗运动过程计算相对简单。

然而，几何布朗运动并不完全现实，尤其存在一下缺陷：

• 在真实股票价格中波动随时间变化（possiblystochastically），但是在几何布朗运动中，波动是不随时间变化的。

• 在真实股票价格中，收益通常不服从正态分布（真实股票收益具有更高的峰度和厚尾（'fattertails'），代表了有可能形成更大的价格波动）。

参考资料