更新时间：2024-09-21 05:23
在群论中，单李群是一个非标准性的李群。其唯一的理想是0和它自己（或者说，是维度为2或更多维度的李群）。
单李群是一类李群，在类似于简单群体的离散群体论中发挥着重要的作用。本质上，单李群是连接的李群，不能被分解为较小连接的李群的扩展，并且不可交换。
与可交换实数的李群R一起，以及单位复数U（1）的简单李群给出了原子“块”通过群扩展的操作来连接所有（有限维）连接的李群。许多通常遇到的李群是简单的：例如，对于所有n\u003e 1，具有等于1的n乘n个矩阵的组SL（n）。
一个简单的李群的等价定义遵循李对应关系：如果李代数简单，则连接的李群就是简单的。一个重要的技术要点是，简单的李群可能包含离散的正常子群，因此简单的李群与简单的抽象群不同。
单李群包括许多古典的李群，它们为费利克斯克莱恩的埃尔兰根计划提供了球形几何，投影几何和相关几何的组理论支撑。在简单李群的分类过程中出现，也存在几种与任何熟悉的几何相对应的特殊可能性。这些特殊的组织在数学的其他分支以及当代理论物理学中占有许多特殊的例子和配置。
所有李群都是平滑的拓扑空间。数学家经常研究复杂的李群，它们是底层拓扑空间上具有复杂结构的李群，需要与群操作兼容。一个复杂的李群如果连接成一个拓扑空间，其李代数是简单的复数李代数，这就是简单的问题了。请注意，潜在的李群可能不是简单的，尽管它仍然是半成品（见下文）。
研究比普通组更简单的李群的一般类，通常是有用的，即简单的或更普遍的还原性的李群。如果李代数是半代数，即简单的李代数的直接和，则连接的李群被称为半微积分。如果李代数是简单（一维）李代数的直接和，则称为还原。还原组自然地出现在代数，几何和物理学中的许多数学对象的对称性。例如，n维实数向量空间的对称性（等价地，可逆矩阵组）的组 是可还原的。
来自李群G到矩阵组的拓扑组同态称为G的表示，简单李群的表示是称为表示理论的数学分支的构建块。简单组的有限维表示被划分为不可约表示的直接和，它们通过满足某些属性的权重格子中的向量来分类。
单李群完全分类。分类通常以几个步骤表示，即：
（1）简单复数李代数的分类通过Dynkin图对复数的简单李代数进行分类。
（2）简单真实李代数的分类每个简单的复数李代数有几种真实形式，在IchirôSatake之后通过其Dynake图的额外装饰分类为佐竹图。
（3）单李群的分类对于每个（真实或复杂）简单的李代数g，有一个独特的“无心”单李群G他的李代数是g。
（4）单李群的分类
可以看出，任何一个李群的基本组是一个离散的交换组。给定一些李群G的基本组的（非平凡）子组，可以用K来构造一个新的组 在其中心。现在可以通过将这个结构应用到无心的李群中来获得任何（真实或复杂的）组。请注意，以这种方式获得的真正的李组可能不是任何复杂组的真实形式。这样一个真正的群体的一个非常重要的例子就是组合，它出现在无限维表示理论和物理学中。
每个单李群具有独特的真实形式，其对应的无心李群是紧凑的。事实证明，在这些情况下，简单连接的李群也很紧凑。由于Peter-Weyl定理，紧凑李群具有特别易于理解的表示理论。就像简单的复数李代数一样，紧凑的李群被Dynkin图分类（首先被Wilhelm Killing和ÉlieCartan分类）。
对于无限（A，B，C，D）系列的Dynkin图，与每个Dynkin图相关联的简单连接的紧凑李群可以被明确地描述为矩阵组，相应的无心紧凑李群被描述为标量矩阵子群。
A1，A2，...
Ar具有相关联的紧凑组，特殊单位组SU（r + 1）及其相关紧凑组投影单一组PU（r + 1）。
B2，B3，...
Br具有相关联的无心紧凑组合奇数特殊正交组，SO（2r + 1）。这个组不是简单的连接：它是通用（双）旋转组。
C3，C4，...
Cr与其相关联的简单连接组是一组单一辛矩阵，Sp（r）和其相关联的无中心组的投影单位辛矩阵的Lie组PSp（r）= Sp（r）/ {I，-I}。
D4，D5，...
Dr具有相关联的紧凑组，甚至特殊的正交组，SO（2r）和其相关联的无心紧凑组投影特殊正交组PSO（2r）= SO（2r）/ {I，-I}。与B系列一样，SO（2r）不是简单的连接; 它的通用封面又是Spin集团，但后者又有一个中心（参见其文章）。
除了上述四个系列，还有五个所谓的特殊Dynkin图G2，F4，E6，E7和E8。所有这些也具有相关联的简单连接和无心紧凑的组，尽管这些不像在上面的无限系列Ai，Bi，Ci和Di的矩阵组（为什么）被描述的容易。
一个简单的组合是一个李群，其Dynkin图只包含简单的链接，因此相应的李代数的所有非零根具有相同的长度。 A，D和E系列组合都是简单的，但是没有B，C，F或G类的组合是简单的。