更新时间：2024-09-20 16:13
可分扩张(separable extension)一种重要的域扩张。
可分扩张的特征为p的域F的任意扩张K/F，Ω是K的代数闭包，若K与
F={α∈Ω|α∈F}
在F上是线性分离的，则称K/F是可分扩张。当F是完备域时，F上任何扩张都是可分扩张。当K/F是代数扩张时，若α∈K在F上的最小多项式是可分多项式，则称α是(F上的)可分代数元(简称F上可分元)。若K中每个元均为F上可分元，则称K是F上可分扩张。若K/F有一个超越基S，使得K是可分的，则称S是可分超越基。若K/F有这样一个可分超越基，则称此扩张K/F是可分生成的。完备域上的有限生成扩张均为可分生成扩张。可分扩张具有传递性。当K/F是有限生成，而且是可分扩张时，K/F是可分生成的。反之，可分生成的扩张必然是可分扩张。
可交换的除环叫做域，它是代数学的基本概念之一。
域的概念在19世纪代数学的发展中逐步形成并明确起来。在埃瓦里斯特·伽罗瓦的著作中就包含了域的概念，他的域就是由方程的系数生成的域，他的扩域是经添加方程的一个根作成的。在约瑟夫·拉格朗日关于群论的论文和高斯关于数论的论文中也有了域的思想。域的概念是在克罗内克和戴德金关于代数数的论文中，从不同角度引入的。戴德金把他所引入的域的概念最初称为“有理区域”，他关于域的理论发表在对狄利克雷《数论讲义》一书所作的评注和附录中。他在那里从本质上补充并扩展了数论、理想论和有限域论。“域”这个术语首次出现在该书1871年的版本中。在19世纪，已经知道的具体的域有：有理数域、实数域、复数域、代数数域和有理函数域。1908年，德国数学家亨泽尔又引进了一类p-进域，并进行了系统研究。
域的抽象理论开始于德国数学家马克斯·韦伯的工作。1893年他曾给伽罗瓦理论以抽象的阐述，其中引进域的概念作为群的派生，并强调群和域是代数的两个主要概念。1903年美国数学家迪克森和亨廷顿建立了一个独立的域的公理体系。
德国数学家施泰尼茨在韦伯的工作的影响下，对抽象域进行了综合研究。按照他的观点，每一个域都可以从它的素域(所有子域的公共元素所构成的子域)出发，经过适当的添加而得到。由此引进了代数扩张和域的特征的概念。他还研究了伽罗瓦方程理论在域中的有效性问题。他的研究成果都包含在他写于1910年的论文《域的代数理论》中。
19世纪末到20世纪初，美国数学家得到有限域的一些结果，如有限抽象域都与某一个伽罗瓦域同构(穆尔，1893);任何有限域必须是交换的(韦德伯恩、迪克森，1905)等等。
20世纪以来，对抽象域的研究又有新的进展，中国数学家曾炯做出了一定贡献。
域的扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。
若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α，α，…，α}是有限集合时，F(α，α，…，α)称为添加α，α，…，α于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：
f(α，α，…，α)/g(α，α，…，α)
的元组成，其中α，α，…，α∈S，f，g是F上的n元多项式且：
g(α，α，…，α)≠0.
由于这个原因，当F(α，α，…，α)关于F的超越次数≥1时，F(α，α，…，α)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。
代数闭包是实线性空间中的集合的代数意义下的闭包。设A为实线性空间X中的集合。A的代数闭包是指这样的点b∈X的全体：存在h∈X，对于任何ε\u003e0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代数闭包常记为acl(A)。如果A=acl(A)，那么A称为代数闭集。它也是X在以代数开集为开集的拓扑意义下的闭集，即代数闭集的余集必定是代数开集；反之亦然。代数闭包的概念在叙述凸集分离定理时也起重要作用。
有的文献定义代数闭包时，要求对于任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.这时代数闭集就不再是代数开集的余集。但当A是多于一点的凸集时，由这两种定义得到的代数闭包是相同的。
一个域的最大代数扩域叫做代数闭包。若域F的代数扩域Ω为代数闭域，则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的，并且在F同构意义下惟一。这个基本定理来自施泰尼茨(Steinitz，E.)。设K是域F的扩域，在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包，它是F在K内的最大代数扩域。特别地，若F=A，则称F在K内是代数闭的。