多边形数是可以排成正多边形的整数。古代数学家发现某些数目的豆子或爆珠可以排成正多边形。例如10可以排成三角形如图。但它不能排成正方形，而9则可以。有些数既可排成三角形，又可排成正方形，例如36（这些数称为三角平方数）。多边形数可以帮助数数目。例如将一堆圆形的药丸倒进一个等边三角形的盒，便可以透过数每边的药丸数目来知道药丸的数目。

术语介绍

x

x x

x x x

x x x x

但它不能排成正方形，而9则可以：

x x x

x x x

x x x

有些数既可排成三角形，又可排成正方形，例如36（这些数称为三角平方数）：

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

x x

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

多边形数可以帮助数数目。例如将一堆圆形的药丸倒进一个等边三角形的盒，便可以透过数每边的药丸数目来知道药丸的数目。

将多边形数扩充到下一个项的方法是，扩充某两个相连的臂，然后将中间的空白处补上。下面的图，每个增加的层用“+”表示。

三角形数

1:

+ x

3:

x x

+ + x x

6:

x x

x x x x

+ + + x x x

10:

x x

x x x x

x x x x x x

+ + + + x x x x

平方数

1:

+ x

4:

x + x x

+ + x x

9:

x x + x x x

x x + x x x

+ + + x x x

16:

x x x + x x x x

x x x + x x x x

x x x + x x x x

+ + + + x x x x

五边形数:

1:

+ x

5:

x x

+ + x x

+ + x x

12:

x x

x x x x

+ x x + x x x x

+ + x x

+ + + x x x

1是任何多边形数的第一项。

第n个s边形数的公式是 \frac{n((s-2)n-(s-4))}{2}

费马多边形数定理指出每个数最多是n个n边形的和。

参考资料