《引理集》 阿基米德著作之一。当然这已不是欧几里得几何的尺规作图法。

基本介绍

《引理集》 阿基米德著作之一

只有阿拉伯语译本传下来，是15个初等几何的问题集．也许不是阿基米德的原著而是后人收集整理的，因为在文章中不止一次提到阿基米德的名字．

“皮匠刀”与三分角

其中提出一种被称为“皮匠刀”(shoe-maker’s knife)的图形，是三个半圆所包围的部分，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆．这图形有许多奇妙的性质，如通过两小圆的外切点C，作CP⊥大圆直径AB(三个圆的直径是重合的)交大圆于P，则“皮匠刀”AGCBPA的面积等于以CP为直径的圆面积．又可以作两个小圆，分别切于CP、大圆及一个小圆，可证这两个小圆相等．设HE是‖于AB的一个小圆的直径，则切点F与H，A共线，F与E，B也共线．E是ΔABD的垂心，从A向DB作垂线，垂足I必落在大圆周上．又AE，HC必过切点G，等等。还有许多其他的性质．

命题8和3等分角问题有关．设AB是⊙O的任一弦，延长AB至C使BC等于圆的半径．联CO并延长之使交圆于E，D．求证:

AE弧长=3倍的BD弧长。

联OA，OB，只要证明∠AOE=3∠BOD即可．实际上 ∠AOE=∠OAC+∠OCA=∠OBA＋∠OCA=∠boc＋2∠OCA=3∠BOD．

现将问题倒过来考虑．设有∠AOE，求它的三等分角．这就是古希腊的三大作图问题之一的“三等分任意角”问题．从理论上说用直尺和圆规是不可能解决的．受到本命题的启发，只要在直尺上加一个点，就能轻而易举地解决这历史难题．

在直尺ABC上记上一个点B，使B至尺端C的距离等于半径．现令尺通过A点，B在圆周上移动，当C落在直径的延长线EDC上时，作ABC直线，则∠C就是所求的三等分角．

当然这已不是欧几里得几何的尺规作图法，因为工具已经改变(即使只加一点！)，而且不合作图公法．不过它说明了一个问题，有些初学者只知道三等分角是难题，但不知难在尺规的限制上，如不限于尺规、那真是易如反掌．

参考资料