在数学中，微分同胚是适用于微分流形范畴的同构概念。这是从微分流形之间的可逆映射，使得此映射及其逆映射均为光滑（即无穷可微）的。

定义

对给定的两个光滑流形M与N，若f:M→N为双射，且f与f-1均为光滑映射，则称f为微分同胚。

性质

M上所有微分同胚集Diff(M)在复合映射下为群。

例子

考虑

此微分同胚可由下述映射给出：

与同胚的关系

对维度小于3的流形，可证明同胚的流形必为微分同胚；换言之，此时流形上的拓扑结构确定了导数结构。在四维以上则存在反例，最早的构造是约翰·米尔诺的七维怪球，米尔诺更证明了七维球上恰有28种微分流形结构，它们都可表成某个在上的丛。在1980年代，西蒙·唐纳森与迈克尔·哈特利·弗里德曼的证明在上有不可数个相异的微分结构。

扩展

在1926年，TiborRadó询问，单位圆的任何同胚或异形的谐波延伸是否在开放光盘上产生了变形。 Hellmuth Kneser不久之后提供了一个优雅的证明。 1945年，Gustave Choquet显然不知道这个结果，产生了完全不同的证据。

圆的（取向保留）分形组是路径连通的。这可以通过注意到任何这样的不同形式可以提升到满足[f(x + 1)= f(x)+ 1]的令的diffeomorphism f;这个空间是凸的，因此是路径连接的。一个平滑的，最终恒定的身份路径给了第二个更加基本的方式，从圆形扩展到开放单位盘（亚历山大技巧的特殊情况）。此外，圆的不同形状组具有正交组O(2)的同伦型。

20世纪50年代和60年代，高维球体Sn-1的不同形貌的相应扩展问题得到了很多研究，其中有RenéThom，John Milnor和Stephen Smale的着作。这种延伸的阻碍由有限的阿贝尔组Γn（“扭转球体组”）给出，其定义为由扩展到球Bn的不同形态的分类的不同形式组的阿贝尔组分组的商。

参考资料