在数值分析中, 一个收敛序列向其极限逼近的速度称为收敛速度(Rate of convergence). 该概念多用于最优化算法中; 其被定义为一个迭代序列向其局部最优值逼近 (假设计算过程收敛, 并能达到最优值) 的速度, 是评价一个迭代法于该问题中发挥的性能的一个重要指针.

定义

收敛速度以收敛阶衡量, 亦可以收敛因子描述; 依计算方法的不同, 有下述两种收敛阶及收敛阶.

商收敛因子及商收敛阶

一、商收敛因子 的定义式如下:

商收敛因子也称Q—因子, 商收敛阶也称Q—收敛阶. 利用商收敛因子, 对收敛速度进行描述的方式如下:

1、如果 , 则称 是 Q—超线性收敛于 ; 如果 , 则称 是 Q—线性收敛于; 如果 则称 是 Q—次线性收敛于 .

2、如果 , 则称 是 Q—超平方收敛于 ; 如果 , 则称 是 Q—平方收敛于 ; 如果 , 则称 是 Q—次平方收敛于 .

注意: Q—线性收敛与Q—平方收敛, 以及Q—次线性收敛与Q—次平方收敛的评判标准有些微差别. “Q—平方收敛”也称为“Q—二次收敛”.

依照Q—平方收敛 (不是Q—线性收敛) 的定义, 可以定义Q—立方收敛 (将 改为）, Q—四次方收敛等更高Q—收敛阶.

二、商收敛阶 的定义式如下:

对比商收敛因子的描述, 商收敛阶是指求出一个数(不一定是整数), 使得对于, 点列都是Q—次次方收于, 且对于都是Q— 次方收敛. 而这个数就是点列的商收敛阶.

根收敛因子及根收敛阶

一、根收敛因子 的定义式如下:

根收敛因子也称R—因子, 根收敛阶也称R—收敛阶. 利用根收敛因子, 对收敛速度进行描述的方式如下:

1、如果 则称 是 R—超线性收敛于 ; 如果 , 则称 是 R—线性收敛于 ; 如果 , 则称 是 R—次线性收敛于 .

2、如果 , 则称 是 R—超平方收敛于 ; 如果 , 则称 是 R—平方收敛于 ; 如果 , 则称 是 R—次平方收敛于.

注意: R—次线性收敛与R—次平方收敛的评判标准有些微差别. “R—平方收敛”也称为“R—二次收敛”.

依照R—平方收敛 (不是R—线性收敛) 的定义, 可以定义R—立方收敛 (将 改为 ), R—四次方收敛等更高R—收敛阶.

二、根收敛阶 的定义式如下:

对比根收敛因子的描述, 根收敛阶是指求出一个数 (不一定是整数), 使得对于 , 点列 都是R—次 次方收于, 且对于 都是R— 次方收敛. 而这个数 就是点列的根收敛阶.

两种收敛阶的联系

对于一个收敛点列而言, 其Q—收敛阶不大于其R—收敛阶, 即

有时, 一个数列的R—收敛阶可能很高, 但其Q—收敛阶可能很低. 当然可以证明, 一个R—收敛阶高的点列至少比某些Q—收敛低的点列收敛得更快.

实例

数列

有如下向量列:

据上作出计算如下,

故数列为Q线性收敛; Q收敛阶为1;

故数列为R线性收敛; R收敛阶为1.

优化算法的迭代点列

对于牛顿法，可以证明, 如果牛顿法的目标函数 的二阶导数 在其收敛点 处Lipschitz连续, 则满足不等式

此说明牛顿法的迭代点列是Q平方收敛; 另言之, 牛顿法的收敛速度是二次的.