方向导数是数学分析特别是多元微积分中的概念，用于描述一个标量场在某点沿着某个向量方向上的瞬时变化率。它是偏导数的推广和加托导数的特例，用于衡量函数在非坐标轴方向上的变化率。

简介

概述

方向导数（directional 导数）的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率

（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率

定义

方向导数的精确定义（以三元函数为例）：设三元函数f在点的某邻域内有定义，l为从点P0出发的射线为l上且含于邻域内的任一点，以ρ（rou）表示P和P两点间的距离。若极限

存在，则称此极限为函数f在点P沿方向l的方向导数。

方向导数的计算

若函数在点可微，则在点处沿任一方向l的方向导数都存在，且

其中cosα，cosβ，cosγ是方向l的方向余弦

性质

方向导数具有多种导数的常见性质，如加法定则、常数因子法则、乘法定则（或戈特弗里德·莱布尼茨法则）以及复合函数求导法则。这些性质使得方向导数在计算和应用中更为灵活。

最大方向导数

如果一个标量场在某点沿任意方向的方向导数都存在，则其中必有最大的一个。方向导数的最大值等于其梯度的范数，当且仅当沿着其梯度的方向时取到。这表明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向。

在微分几何中

在微分几何中，方向导数可以用来描述在可微流形上的函数沿着切向量的变化率。设M是一个可微流形，x是M上的一个点，f是在x的邻域内有定义且在点x可微的函数。如果v是M在点x的一个切向量，则f沿着v方向的方向导数定义为：

{\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}}

其中γ是一个可微曲线，γ(0) = x，且γ′(0) = v。

参考资料