在经典力学与几何学里，所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转，组成的群，定义为转动群或旋转群。

根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。

定义

在经典力学与几何学里，所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转，组成的群，定义为旋转群。根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。假若，一个线形变换保持矢量长度，逆反空间取向，则称此变换为假旋转。

两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转；零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律．由于符合上述四个要求，所有旋转的集合是一个群。更加地，旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构，旋转群的运算是光滑的；所以，它是一个李群。旋转群时常会用SO(3) 来表示。

长度与角度

除了保持长度（保长），旋转也保持矢量间的角度（保角）。原因是两矢量u和v的内积可写作：

R中的保长转换保持了标量内积值不变，也因此保持了矢量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形，参见典型群。

旋转轴

三维空间中非平凡的旋转，皆绕着一个固定的“旋转轴”，此旋转轴是R的特定一维线性子空间（参见：欧拉旋转定理）。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面，如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示，则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。

举例来说，绕着正z轴旋转φ角的逆时针旋转为

给定R中一单位矢量n以及角度φ，设R(φ,n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转，则：

• R(0,n)为相等转换（identity transformation），n任意单位矢量；

• R(φ,n) =R(−φ, −n)；

• R(π + φ,n) =R(π − φ, −n)。

利用这些特性，参数为旋转角φ（范围： 0 ≤ φ ≤ π）与单位矢量n的任意旋转有如下性质：

• 若φ = 0，n可为任意单位矢量；

• 若0 \u003c φ \u003c π，n为特定单位矢量；

• 若φ = π，n为彼此反向的两特定单位矢量；亦即，旋转R(π, ±n)是等价的。

有限子群

SO(3)中只有很少的几个有限子群，且它们全部是熟悉的对称群，包括有：

• C：绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的循环群

• D：正k边形的二面体群

• T：将正四面体映为自身的十二个旋转四面体群

• O：立方体或正八面体旋转的24阶八面体群

• I：正十二面体或正二十面体的60个旋转的二十面体群

应用

常见的三维旋转群有如下几种：

正六面体：阶24, 顶点8个，面6个，棱12条，均为正方形

正八面体：阶24, 顶点6个，面8个，棱12条，均为等边三角形

正十二面体：阶60, 顶点20个，面12个，棱30条，均为正五边形

正二十面体：阶60, 顶点12个，面20个，棱30条，均为等边三角形

足球：阶60, 顶点60个，面32个，棱数90条，20个正六边形，12个正五边形

类足球(正八面体切掉角)：阶24，顶点24个，面14个，棱数36条，8个正六边形，6个正方形

参考资料