更新时间：2023-11-17 16:19
有限集合指只有有限个元素的集合。有限集合和集合一样有子集、幂集等概念以及交、并、差、补等运算。对于有限集合，称的元素个数为集合的基数（cardinal）或阶（order）。
19世纪初期，数学界对数学分析的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）在1874年提出了集合的定义。从1878年开始，格奥尔格·康托尔把势（基数）定义为等势集合的共同属性，并用表示自然数集的势，用表示实数集的势并提出了著名的连续统假设。
有限集合的运算具有交换律、结合律、分配律等性质。此外还有与有限集合相关定理，如任何有限集合都不与其真子集等势。与有限集合相关的概念有无限集合、可数无限集合、可数集合、不可数集合等。
有限集合可用在数学、智能电网、计算机等领域，如有限集合经常用于描述随机试验的样本空间，也可用于无损压缩中符号有限集合的编码。
集合（set）也称集，是一个不加定义的原始概念。通俗地说，集合是将一些对象放在一起作为一个整体来考虑，组成集合的对象称为这个集合的元素或简称元。若是集合的元素，则称属于，记为。若不是的元素，记为。当某一集合的元素为时，可写作，称集合由元素（对象）聚合而成。由所有具有某一性质的对象聚合而成的集合，通常记为或。
只有有限个元素的集合叫有限集。
对于集合，当且仅当存在一个自然数，使得，称A为有限集，否则（即不存在这样的自然数）说是无穷集。
空集指没有任何元素的集合，记为。
若，均有，则称是的子集，包含，包含于，记为。若还有，则称是的真子集，记为。
已知集合，的所有子集组成的集合称为的幂集，记为或。
对于集合、，当且仅当存在到上的一个双射（一一对应时），说等势于，记作。
已知集合、，若存在双射，则称、是等势的或有相同的基数。记作或或。
对于有限集合，称的元素个数为集合的基数（cardinal）或阶（order），记为，或。除此之外约定。对于无限集合，形式地记。
集合的思想可以追溯到古希腊的原子论学派，他们把直线看做一些原子的排列。19世纪初期，数学界对数学分析的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。
1870年格奥尔格·康托尔应朋友海涅邀请开始研究函数的三角级数表示的唯一性问题。他在1871年至1872年的论文中明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由实数构成的更复杂的集合。1873年12月7日，康托尔在给戴德金中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。康托尔在1874年提出了集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”这里用汇集来定义集合是同义语反复。之后人们认识到集合是一个原始的概念，不能用其他概念来定义，而只能加以描述或说明。在集合概念产生后，进一步定义了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。
从1878年开始，格奥尔格·康托尔把势（基数）定义为等势集合的共同属性，并用表示自然数集的势，用表示实数集的势并提出了著名的连续统假设。1883年，他证明了康托尔定理：任何一个集合的势都小于它的幂集的势。从1883年起，康托尔研究有序集，利用良序概念建立序数理论，把数学归纳法推广为更一般的超限归纳法。1895年，在康托尔发表的题为《关于超穷集合论的基础》的论文中，给出了超限基数和超限序数的定义，引进了符号，并把它们按序型的大小排成序列，定义了基数和序数的加法、乘法和乘方运算，讨论了各自的算术理论，即集合论的基数理论和序数理论。
已知集合、，定义交、并分别为
已知集合、，定义差集为
在全集下，，集合的交、并、补具有如下性质：
（1）;（交换律）
（2）;（结合律）
（3）;（幂等律）
（4）;（吸收律）
（5）;（分配律）
（6）；（零律）
（7）;（幺律）
（8）;（补律）
（9）（逆律）
（10）；（De Morgan律）
（1）如果是一个有限集合，那么也是有限集合。
（2）如果是一个有限集合，也是一个有限集合，那么 也是有限集合。
（3）如果是一个有限集合，而且它的每一个元素也是有限集合，那么是有限集合。
（4）如果是一个有限集合，，那么是一个有限集合。
（5）如果是一个有限集合，是定义在上的一个函数，那么也是有限的。
（6）如果和是两个非空有限集合，那么也是有限集合。
（7）如果和是两个非空有限集合，那么也是有限集合。
（9）任何有限集合都不与其真子集等势。
若集合不是有限的，称集合是无限的或者无穷的。
若集合与自然数集等势，称集合是可数无限集合。
若集合是有限的或是可数无限的，称集合是可数的。
若集合既非有限也非无穷可数，称集合是不可数的。
在概率论和统计学中，有限集合经常用于描述随机试验的样本空间。例如，一枚硬币的正反面可以用一个有限集合来表示，掷子的结果可以用一个有限集合来表示。有限集合的概念在描述随机事件的可能结果和概率分布时较为有用。
在离散数学中，有限集合的概念被广泛应用于集合论、图论、组合数学等领域。例如，在组合数学中，有限集合的排列和组合问题是经典的研究对象，它们与排列组合、概率等问题密切相关。
有限集合可应用于智能电网领域。随着智能电网、分布式发电技术及高压直流输电技术的迅速发展，三相电压型并网逆变器(GC—VSI)得到广泛应用 ，其控制技术也成为研究热点。针对三相电压型并网逆变器(GC—VSI)，为了消除系统控制延时对控制性能的影响 ，一种基于有限集合的功率预测优化控制策略诞生，该策略提出了两步预测的方法进行补偿。实验结果表明，此方法能减小逆变器功率波动，降低并网电流的总谐波畸变率(THD)，具有快速的动态性能，同时对电感参数的变化具有较强鲁棒性。
有限集合可应用于数据压缩中。数据压缩是表示层要实现的一项重要服务。数据压缩的方法可以分为有损压缩和无损压缩。无损压缩包括符号有限集合编码及替换，依赖于符号使用的相对频度，以及符号出现的上下文的编码3类。在实际应用中，报文是从有限集合中引用的。绝大多数内容是由英文短语组成的，都可以用编码来表示。例如，成品库里的物品名称目录，一般而言，名称平均长度为10个字符，占80个比特。如果对库内的物品进行编号，用编号代替物品名称便可以大大压缩物品名称所占的比特数，如有1万件物品，用14位二进制编码就能够表示它们14 位要比80位大大地压缩了。另一方面，在本地终端事先存放好物品目录表，线路上就可以只传送二进制编码压缩后的信息，到达目的终端后，再根据目录表把具体物品名称替换出来就可以了。