更新时间：2024-09-20 12:31
正则性公理（axiom of regularity），亦称基础公理、限制公理，其定义为任一非空集合都有极小元素，它具有多种形式化表示方式。
19世纪70年代，德国数学家格奥尔格·康托尔创立集合论之后，人们陆续发现在朴素集合论中存在悖论。为了避免悖论，恩斯特·策梅洛（Zermelo）于1908年提出了第一个公理化集合论系统，9年后，密列曼诺夫（mmi-rimmanoff）发现在策梅洛的系统中不能排除“无底集”与“循环集”的存在，从而导致新的悖论，1925年，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）建议增加正则性公理以解决上述矛盾。1930年，策梅洛也独立地引入了这条公理，并称它为基础公理。后来，一些学者对于正则公理提出了不同的看法。1941年，贝尔奈斯（P. Bernays）断言基础公理与ZF的其他公理是相对独立的，并于1950年给出了证明。
正则公理具有许多推论，如没有集合是自身的元素且没有无限序列使得对于所有，是的元素。它与良基关系的定义有关。正则公理及其推论可以解决理发师悖论以及超穷序数理论中的问题。此外，它还可以处理计算机数据，让技术顺利进行。ZF公理系统还包括外延公理等一系列公理。但是，一些学者认为正则公理不是一条大家共同认可的数学原理，提出了反基础公理，建立了非良基集合论理论。
正则性公理，是指任一非空集合都有极小元素，具有多种形式化表示方式。这个公理形式化为：
或。该公理断言：任何集合在关系下是良基的，不存在无限递降链也就不会有与循环。
实质上此公理是对集合概念的一种限制：有性质的集合是不存在的.该公理的另一表述方法是：对任何集合论公式，有。这种表述下的正则公理实际上是正则公理模式。
19世纪70年代，德国数学家格奥尔格·康托尔创立了集合论，他认为在直觉意义上，集合是事物的总体。1902年，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素发现了罗素悖论，揭示了一个基本的事实：一个集合或者是它本身的成员，或者不是它本身的成员。为了解决集合论的悖论，1908年，恩斯特·策梅洛首先发表了集合论的一个公理系统，后来经过弗兰克尔（Fraenkel）和斯科伦（Skolem）的改进，形成了ZF公理系统。
9年后，密列曼诺夫（mmi-rimmanoff，1861-1925）发现在策梅洛的系统中不能排除“无底集”与“循环集”的存在，从而导致新的悖论，1925年，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann，1903-1957）建议增加正则性公理以解决上述矛盾。冯·诺伊曼在为ZF增加基础公理的同时，也在考虑集合论的哲学基础问题。他认为，朴素集合论造集的任意性，并不在于它使用了太大的集合，而在于这些集合被任意地用作其他集合或自身的元素。因而解决问题的方法不应是限制集合的存在，而应是限制一集合作为另一集合元素的资格。此外，他还证明了该公理与ZFC系统中的其他公理相对一致。1930年恩斯特·策梅洛也独立地引入了这条公理，并称它为基础公理。
后来，一些学者对于正则公理提出了不同的看法。1941年，贝尔奈斯（P. Bernays）断言基础公理与ZF的其他公理是相对独立的，并于1950年给出了证明。但是，非良基集合的理论研究直到70年代阿克采尔（Aczel）的《非良基集合》问世，才得以被重视起来。
证明：是一个集合，使得是自身的一个元素，并定义，它是通过对公理得到的集合。应用正则公理于，可见到的唯一元素，也就是，必须不相交于。但是和的交集就是。所以不满足正则公理并得到一个矛盾，这证明了不存在。另一方面，设是自然数的函数，对每个，都是的一个元素。定义的值域，在函数的形式定义上可以被看做是一个集合。应用正则公理于，设是的一个元素，它不相交于，但是通过和的定义，和有一个公共元素（就是）。这是个矛盾，所以没有这样的存在。这个论证只适用于是集合（不是不可定义的类）的。继承有限集合满足正则公理。所以如果形成了一个非平凡的超能力的，则它也将满足正则公理。但是它将包含无限递减的元素序列。例如，假定是非标准自然数，则和等等，对于任何实际的自然数，有。所以这是个不终结的递减的元素序列。但是这个序列在这个模型中是不可定义，因此不是集合。所以，没有正则公理的矛盾是可以证明的。
证明：如果，则和二者都是集，且是的仅有成员。对后一类应用正则性公理，便得到矛盾，这与前一定理的证明一样。
事实上，正则性公理可导致另一个加强的结果，即可能存在一个序列，使得对每个成立。
证明：设和是的成员且，则不真（定理2）。因此在上不对称。如果是的非空子集，则按正则性公理，在中必有使得，于是中没有属于的成员。
令是任意的二元关系，如果集合的任意非空子集有一个极小元，并且的任何段是一个集合，则称是上的良基关系，记作，或称是良基的。这种良基关系可形式地表述为：
。
如果是一个集合，根据正则公理，良基关系的定义条件可以略去。
格奥尔格·康托尔的超穷序数理论，依赖于三个“序数生成原理”：
第一序数生成原则：对一已给定的数，可增加一单位。如从，可得。
第二序数生成原则：给定任一有特定顺序，但其中无最大元素的集合，可以作为原集合的极限或后继者而得一新数，如从整数集合可得；等等。
第三序数生成原则（限制原则）：它保证一个新数类的基数大于前一数类的基数而且是第一个这样大的。康托反复运用这三条序数生成原则，得到超限（穷）序数，，，……，，……，，，…………，……，，……，……，……，……等等，其中被普遍认为是第一个不可数序数，而且是一个基数。给出其证明如下：
如不然，即是一可数序数，，由定义，
其中：表示所有集合的类；、表示基数。就有，这与正则公理（基础公理，限制公理）的推论“对任一集合，都有成立”相矛盾，因此得证。
理发师悖论提出了这样的疑问：某村有一理发师，恰给本村那些不给自己理发的人理发，那么他给不给自己理发。若他给自己理发，则他是一个给自己理发的人。按照他的原则，他应该不给自己理发，矛盾。若他不给自己理发，则他是一个不给自己理发的人。按照他的原则，他应该给自己理发，也矛盾。
设（1）；（2）。
根据式（13.7），是遍给且仅给刮脸的人。
是不给而给别人刮脸的人，根据式（1），有（3）。
即，根据式（2），有（4）。
又根据式（2），则给刮脸，即给自己刮脸，则根据式（1），有（5）。
现在应用正则性公理。根据正则性公理，命题式（4）被禁止。因此命题式（3）被禁止；因此悖论式（3）式（5）不再存在。
该示例表明ZF的正则性公理避免了理发师悖论。
19世纪初期，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺（波尔扎诺，B.）发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在。随着人们陆续发现朴素集合论中的悖论，恩斯特·策梅洛提出了第一个公理化集合论系统。这个系统建立在带等词的一阶谓词逻辑基础之上，包含了"集合"和"属于"两个初始概念以及外延公理等七条公理，后来，经过改进，形成了应用广泛的ZF系统。
如果一个集合的所有元素也是的元素，反之亦然，则。简而言之，一个集合完全由它的成员确定；当且仅当它们拥有相同的元素时，两个集合相同，即。
一个集合的所有子集可以构成一个集合。换言之，对于任何的，存在着一个集合，使的元素是而且只会是的子集，即。
对于一个集合都对应着一个集合，即的并集，的元素是的所有元素的元素。这里，“元素的元素”即“成员的成员”，即“子集的元素”。并集公理的形式化表示是。
对于任意公式，如果对于任意的存在唯一的使得为真，则对集合，存在着集合，使得为真，即。
，其中“”是缩写符号，。无限公理实际上是后继存在公理，是集合的后继集。
子集公理，即划分公理，指任给一集和一性质，则集合中一切满足性质的元素可以汇集起来构成一集，即为一集合。
空集是没有任何元素的集合，通常用表示。可以证明，空集是唯一的，即有且只有一个空集。其形式表示为。
对于任意的集合和，存在一个集合使得当且仅当或。形式化表示为。
对于普通人来说，正则公理与日常生活相去甚远。然而，它间接影响了很多事情。例如，计算机在处理数据时会大量使用集合。如果这些集合的规则不明确，计算机程序可能会遇到问题并且无法正常工作。因此，这一公理在支持计算机处理数据中起着关键的作用。
一部分学者认为，正则公理不像ZFC的其他公理，它不是一条大家共同认可的数学原理。人们可以放弃基础公理对集合的限制，得到一个更宽广的集合概念。托马斯·库恩（Kunen）认为，正则公理在通常的数学中应用较少，接受它只是为了使所有的数学在所有良基集合构成的类WF中能正常进行下去。
随着科学的发展，人们发现循环现象无处不在。例如公路上车辆、行人川流不息，人们根据交通灯的颜色由红、黄、绿循环交替的变化有序而行。交通信号可以表示为一个流：交通信号＝（红灯，（黄灯，（绿灯，交通信号）））。用数学语言可以将这些现象统一表述为令是一个集合，是满足：如果，那么存在和使得的流组合的最大集合。然而，在正则公理下，。因此，在包含FA的集合论ZFC中，人们不能刻画流，不能为这些循环现象建立数学模型。
出于正则公理不能为这些循环现象建立数学模型的现象，人们开始尝试用各种能够刻画循环现象的数学命题来代替正则公理。在整个二十世纪，福蒂（Forti）和哈塞尔（Honsell）等人不仅给出了刻画非良基集合相等的标准，还给出了相应的反基础公理，1988年，阿克采尔（Aczel）在为计算机科学中的进程构建数学模型时，借助图理论将福蒂和哈塞尔的反基础公理重新描述为：每一个图都有唯一装饰，记作AFA，并建立了非良基集集合论理论。
此外，由于在基础公理下可以证明：对于任意的集合都有成立。在反基础公理下可以证明：存在集合使得成立，即是集合，也称它为自返集合。因此，在反基础公理下，集合的论域就被扩大。
另一个常见的公理系统——NBG系统是约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在1920年首先提出来的。伯尔奈斯（Bernays）在从1937年开始发表的一系列重要文章中，发展了一个公理系统，这个系统基本上沿着冯·诺依曼的观念，后来库尔特·卡塞雷斯（Kurt Gödel）又对这个系统作了若干修改，形成了现在说的NBG公理系统。该系统和ZF系统的不同，主要是：（1）NBG系统区分“集合”和“类”，能作其它集合或类的元素是集合，不能作其它的类的元素的类，叫做真类。NBG系统对类和集合使用两种变元。（2）NBG系统的公理是有穷的。
在ZF系统和NBG系统之间，若给出一定的对应关系，则可有下述结果：（1）所有ZF系统的定理都是NBG系统的定理；（2）NBG系统中关于集合（不说及类）的定理都是ZF系统的定理；（3）ZF是协调的，当且仅当NBG是协调的。
在NBG系统中，类的正则公理为。
Axiom of Regularity.philosophyterms.2024-02-20
策梅洛-弗兰克尔集合论.中国大百科全书.2024-02-19