特征多项式（Characteristic 多项式）是线性代数中一个重要的概念，它可以用来求矩阵的特征值。在线性代数中，方阵的特征多项式是矩阵相似性不变且根为特征值的多项式。系数包含行列式和矩阵轨迹。有限维向量空间的内同构的内在多项式是该内同构矩阵在任意基上的内在多项式（即内在多项式不依赖于基的选择）。特征方程，也叫行列式方程，是将特征多项式归零得到的方程。 在谱图论中，图的特征多项式是其邻接矩阵的特征多项式。此外，特征多项式还包含了线性自同态的一些重要性质，例如行列式、迹数及特征值。

定义

设k为域（例如实数或复数域），对布于k上的 矩阵A，定义其特征多项式为

这是一个n次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

要理解特征多项式，首先需要了解一下特征值与特征向量，这些都是联系在一起的：

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

然后，我们也就可以对关系式进行变换： 其中E为单位矩阵。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即。带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。

解法

1、把的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。

2、把的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。

3、试根法分解因式。

性质

当A为上三角矩阵（或下三角矩阵）时，，其中 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为。一般而言，若，则。

此外：

（1）特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 C使得，则。

（2）对任意两方阵A,B，有。一般而言，若A为矩阵，B 为矩阵（设），则

（3）凯莱-哈密顿定理：

参考资料