在解析数论及代数数论中，狄利克雷特征是一种算术函数，是Z/nZ的特征。它用来定义L函数。两者都是由狄利克雷在1831年为了证明狄利克雷定理而引进。

定义

狄利克雷特征指有下面性质、由整数到复数的函数：

存在正整数k使得对于任意n都有χ(n) = χ(n+k)

对于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)

χ(1)=1

首个条件说明特征是一个以k为周期的函数，其余两个条件说明它是完全积性函数。

若果特征的周期不是1，由周期性和完全积性可知，特征的值若非单位根便是0。当且仅当gcd(n,k)\u003e1，χ(n)=0。

例子

实特征指值域为实数的特征，它的值只限于 { − 1,0,1}。

若一个特征对于所有与k互质的整数的值都为1，则称为主特征。

若p为素数，勒让德符号(n|p)便是狄利克雷特征的例子。

正文

数论中重要的基本概念之一，为P.G.L.狄利克雷所引进的模q的特征，通常称之为狄利克雷特征。它可以用不同的方法来定义。这里采用如下定义:

设,pj(1≤j≤s)是不同的奇素数,gj是模的最小正原根，以及

其中φ(d)是不超过d，且与d互素的正整数个数。对于任给的一组整数m,m0,m1,…,ms，把定义在整数集合上的函数

的特征，其中r，r0，r1，…, rs是n 对模的一个指数组，即,,1≤j≤s。为了着重指出特征 ⅹ(n)是属于模的, 经常采用记号ⅹq(n)或ⅹ(n)mod。有关特征的基本知识如下：

① 设ⅹ(n)是模q的特征，当(n, )=1时恒有ⅹ(n)=1，则称 ⅹ(n)为模的主特征、记为ⅹ0(n); 不然就称为非主特征。只取实值的特征称为实特征，其他的称为复特征。函数也是模的特征，称为ⅹ(n)的共轭特征。

② 模q的特征ⅹ（n）是以q 为周期的周期函数，即ⅹ(n+)=ⅹ(n)。此外，ⅹ(1)=1,｜ⅹ(n)｜=1,(n,)=1。

③ 特征ⅹ(n)是完全积性函数，即对任意整数n1,n2有，因此ⅹ2(-1)=1。

④ 对于一个固定的模q, 有且仅有φ(q)个不同的模的特征。

⑤ 设(n)是模q的特征，则有

⑥ 设q≥1,(α,)=1，则有

对模的所有不同的特征求和。

⑦ 设ⅹ(n)是模q的非主特征，如果存在正整数q┡\u003cq，使得对所有满足条件(n1,q)=(n2,q)=1,n1n2(modq┡)的n1、n2有ⅹ(n1)=ⅹ(n2),那么就称ⅹ(n)为模q的非原特征；否则就称为模q的原特征。

狄利克雷特征的主要作用在于：利用性质⑥，可以从一个给定的整数序列中，把属于某个公差为q的算术级数的子序列分离出来。

陈景润对狄利克雷特征的叙述

Dilikelei tezheng

狄利克雷特征

Dirichlet character

数论中重要的基本概念之一，为P.G.L.狄利克雷所引进的模的特征，通常称之为狄利克雷特征。它可以用不同的方法来定义。这里采用如下定义:

设[121-20],(1)是不同的奇素数，是模[121-21]的最小正原根，以及

[121-22]其中()是不超过，且与互素的正整数个数。对于任给的一组整数,,,…,，把定义在整数集合上的函数

[121-23]称为模[121-0]的特征，其中，，，…, 是 对模[121-0]的一个指数组，即[121-24],[121-25],1。为了着重指出特征 ()是属于模[121-0]的, 经常采用记号()或()mod[121-0]。有关特征的基本知识如下：

① 设()是模的特征，当(, [121-0])=1时恒有()=1，则称 ()为模[121-0]的主特征、记为(); 不然就称为非主特征。只取实值的特征称为实特征，其他的称为复特征。函数[121-26]也是模[121-0]的特征，称为()的共轭特征。

② 模的特征（）是以 为周期的周期函数，即(+[121-0])=()。此外，(1)=1,｜()｜=1,(,[121-0])=1。

③ 特征()是完全积性函数，即对任意整数，有[121-27]，因此(-1)=1。

④ 对于一个固定的模, 有且仅有()个不同的模[121-0]的特征。

⑤ 设()是模的特征，则有

[121-28]

⑥ 设1,(,[121-0])=1，则有

[121-29]式中Σ表对模[121-0]的所有不同的特征求和。

⑦ 设()是模的非主特征，如果存在正整数\u003c，使得对所有满足条件(,)=(,)=1,≡(mod)的、有()=(),那么就称()为模的非原特征；否则就称为模的原特征。

狄利克雷特征的主要作用在于：利用性质⑥，可以从一个给定的整数序列中，把属于某个公差为的算术级数的子序列分离出来。因此，它在涉及算术级数的许多数论问题诸如算术级数中的素数定理、哥德巴赫猜想的研究中，起着关键的作用。

陈景润

参考资料