在数学中，环绕数（linking number）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。

环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 脱氧核糖核酸超螺旋的研究。

定义

空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：

每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。

计算环绕数

存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。

正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即

环绕数

这里分别表示四类交叉数的个数。两个和与总相等。这样得到了如下另外的公式

环绕数

注意到只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而只涉及到上交叉。

性质与例子

怀特黑德链环两条曲线环绕数为零。

• 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的怀特黑德链环（Whitehead link））。

• 逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。

• 环绕数具有手征性：取一个链环的镜像，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则。

•平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与z-轴（将z-轴想象为三维球面中一条闭曲线）的环绕数。

• 更一般地，如果其中一条曲线是简单的，则这个分支的第一同调群同构于整数Z。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。

• 在物理学中，环绕数是拓扑量子数之一例，它与量子纠缠有关。

积分定义

给定两条不交可微曲线，定义从环面到单位球面高斯映射为取单位球面上一点v，从而链环的正交投影到垂直于v的平面给出一个链环图表。观察到点 (s,t) 在高斯映射下映为v对应于链环图表中一个交叉，这里在上。并且 (s,t) 的一个邻域在高斯映射下映为v的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于v的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖v的带符号次数。由于v是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。

曲线与的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分：

环绕数

这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。

推广

• 就像三维中环绕的闭曲线，任何两个维数为m与n的闭流形，可能在维欧几里得空间中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射，其度数是环绕数的推广。

• 任何标架纽结（framed knot）有一个自环绕数，得自计算纽结C与将曲线C中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动（沿着黑板标架）得到的自环绕数称为考夫曼自环绕数（Kauffman's self-linking number）。

参考资料