更新时间：2024-09-20 11:29
留数（Residue）是复变函数论中一个重要的概念，也称为残数。它是指解析函数沿一条正向简单闭曲线的积分值。如果函数f(z)在点a附近有孤立奇点，那么积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf(z)dz被称为f(z)关于点a的留数，记作Res[f(z)，a]。留数是函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。留数的概念不仅适用于复平面上的函数，还可以拓展到任意黎曼曲面上的函数。
严格定义是：f（z）在 上解析，即a是f（z）的孤立奇点
如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分表示旋源的强度——环流量，所以留数是环流量除以2πi的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成洛朗级数：，将它沿逐项积分，立即可见 ，这表明留数是解析函数
在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。
留数的性质包括：①解析函数沿某一条不过孤立奇点的简单闭曲线积分等于其在曲线内部全部孤立奇点的留数之总和乘以2πi。②解析函数关于全部孤立奇点的留数之总和为零。这些性质与环流量的可叠加性及质量守恒定律相一致。留数的计算方法多样，具体方法取决于函数的性质以及奇点的类型。
设函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么
如果函数f在整个圆盘{ |z − c| \u003c R }内可以延拓为全纯函数，则Res(f, c) = 0。但反过来不总成立。
在一阶极点，留数由以下公式给出：
Res(f,c)=lim_{z→c}(z-c)f(z)。
如果函数g和h在c的一个邻域内是全纯的，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为：
Res(f,c)=g(c)/h'(c)。
对于n阶极点，留数由以下公式给出：
Res(f,c)=(1/(n-1)!)lim_{z→c}d^(n-1)/dz^(n-1)((z-c)^nf(z))。
这个公式对于计算低阶极点的留数非常有用。对于较高阶的极点，级数展开式可能更加容易。
无穷远点的留数定义为：
Res(f(z),∞)=-Res((1/z^2)f(1/z),0)。
如果函数f(z)满足lim_{|z|→∞}f(z)=0，则无穷远点的留数可以用以下公式计算：
Res(f,∞)=-lim_{|z|→∞}德国采埃孚股份公司(z)。
如果不满足上述条件，即lim_{|z|→∞}f(z)=c≠0，则无穷远点的留数为：
Res(f,∞)=-lim_{|z|→∞}z^2·f'(z)。
如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算通常更简单。例如，计算函数sin(z)/(z^2-z)在奇点的留数时，可以通过级数展开和因式分解来确定留数的值。
作为计算留数的例子，考虑以下的路径积分：
∮_C e^z / z^5 dz
其中C是围绕原点的任意正向简单闭曲线。通过将e^z的泰勒级数代入被积表达式并进行积分，可以发现只有1/(4!z)的项对积分有贡献，因此留数为1/4!，即πi/12。这个留数是e^z/z^5在z=0的留数。
通过以上的定义、性质和计算方法，留数理论为计算复变函数的路径积分提供了强大的工具，尤其是在物理学和工程学中的应用。
利用留数定理，可以将特殊类型的实积分转换为某个复变函数沿简单闭曲线的积分，然后利用留数定理计算，从而大大简化计算过程。