矩阵对数是矩阵指数的逆运算，在数学中，它涉及找到一个矩阵，使得其矩阵指数等于给定矩阵。矩阵对数不是对所有矩阵都存在，且一个矩阵可能有多个矩阵对数。矩阵对数的研究与李群紧密相关，因为如果一个矩阵存在矩阵对数，那么这个矩阵对数是对应李代数向量空间的元素。

定义

对于任意一个阶逆矩阵，总存在一个矩阵（称为的矩阵对数），满足，其中是矩阵指数。通常情况下，矩阵对数总是不唯一的。实矩阵的矩阵对数很可能是一个复矩阵。在MATLAB中由函数logm实现。

性质

1.设为正定矩阵，则

其中为矩阵的迹。

2.如果为可交换矩阵，则

令得到

存在性

对于一个复矩阵，该矩阵存在矩阵对数当且仅当它是可逆的。如果一个矩阵没有负实特征值，那么它的矩阵对数不是唯一的。对于一个实矩阵，该矩阵存在实矩阵对数当且仅当它是可逆的并且负特征值对应的每个若尔当块出现偶数次。如果可逆实矩阵不满足若尔当块的条件，那么它只有非实对数。

示例

对于单位矩阵，其矩阵对数为零矩阵。

对于实矩阵，其矩阵对数为，其中为任意整数。

参考资料