更新时间：2024-09-20 12:34
线性子空间（又称向量子空间，简称子空间）是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间。
定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。
注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：
（1）子集合W的任意两个向量α与β之和仍是W中的向量；
（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。
2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。
3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。
例1设域是R，向量空间V是欧几里得空间。取W为最后的分量是 0 的V中所有向量的集合。则W是V的子空间。
证明：显然W非空，且
给定W中u和v，它们可以表达为 和。则。因此也是W的元素。
给定W中u和R中标量c，如果，则。因此cu也 是W的元素。
例2设域是R，向量空间V是是欧几里得空间。取W为V的使得的所有点的集合。则W是R的子空间。
证明：显然W非空，且
设 且 是W的元素，就是说，在平面上的点使得且。则；因为且，则，所以是W的元素。
设 是W的元素，就是在平面中点使得，并设c是R中的标量。则；因为，则，所以cp是W的元素。
例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间。
例4 是（次数小于n的多项式全体）是线性空间P[x]的子空间。
如果是线性线性空间V的两个子空间，那么它们的交也是V的子空间。
如果是线性线性空间V的两个子空间，那么它们的和也是V的子空间。
，W都是子空间，有
4.对于子空间以下三个论断是等价的：
1）
2）
3）
5（维数公式）如果是线性空间V的两个子空间，那么：.
6.如果n维线性空间V中两个子空间的维数之和大于n，那么必含有非零的公共向量。
7.设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使V等于U与W的直和。