结构常数是定义在李群上的一组常数。它们决定了该李群的李代数的元素之间的李括号。反过来，给定一组满足某些性质的常数，就一定存在以它们为结构常数的局部李群。

基本介绍

定理1 设g是有限维李代数，则存在惟一一个单连通李群，以g为其李代数。此外，如果G是另一个以g为其李代数的连通李群，则 是G的单连通个李群G的李代数。如果设想 是g的一组基，那么就存在一组常数 使得

由于李括号还满足反对称性和Jacobi恒等式，因此不难验证 还必须满足下面的限制条件：

(1)反对称性：

(2)Jacobi恒等式：

由于 构成一组基，如果我们知道，利用式(1)和李括号的双线性即可重新构造出李代数g来。因此称满足条件即式(2)和式(3)的常数组 为李代数g的结构常数。反之，不难证明，任意一组满足式(2)和式(3)的常数 都是某个李代数的结构常数。

如果选取g的另一组基 为

式中，矩阵 可逆，则相对于 的结构常数为

式中，是 的逆矩阵。

因此，两组结构常数确定同一个李代数的充分必要条件是：存在矩阵，使它们满足式(5)。于是由定理1可见，在连通李群的李代数和满足式(2)和式(3)的结构常数的等价类之间存在一一对应。所以，可以通过研究代数方程式(2)和式(3)来研究有限维李代数的性质，当然这并不能代替整个李群理论。

交换子表

展示一个李代数的结构，最方便的方法是用交换子表。如果g是一个r 维李代数， 是它们的一组基，那么g的交换子表就是一个 表格，第个元素就表示李括号 。由于李括号是反对称的，交换子表也是反对称的，特别是对角线上的元素为0。有了交换子表，结构常数就可以很方便地从交换子表中读出，即 就是交换子表中第个元素里的系数。

以特殊线性群 的李代数 为例说明交换子表的表示法。此时g由迹为零的矩阵全体组成，取一组基为

那么相应的交换子表见表1。

例如，从表中可知 等。结构常数是，其他 全为零。

无穷小群作用

下面简要地介绍无穷小群作用。

设G是作用在流形M上的局部变换群，即

那么相应地，存在G的李代数g在M上的无穷小作用。换言之，如果，则定义 是M上的这样一个向量场，其确定的流与G的单参数子群在M上的作用重合，即对，满足关系：

式中， 。进一步注意到，由于在有定义的地方，有如下等式成立：

从而对任意，有

由李括号的性质可知，是g到M上的向量场的李代数的一个李代数同态，即

所以，一切与对应的向量场组成的集合形成M上的向量场的一个李代数，它与g同构；特别是具有与g相同的结构常数。

反之给定M上一个有限维向量场李代数，总存在一个局部变换群，其无穷小作用由已知李代数生成。因此有下面的定理。

定理2 设是流形M上的满足如下关系的向量场：

式中，是常数。那么存在一个李群G，其李代数以为相对于某组基的结构常数，并且G在M上的局部群作用使得曲由式(6)定义。

通常，忽略对映射的明显依赖，而把李代数g和它的像视为等同。这样，通过下面的公式从群变换可以重新得到g，即

g中的向量场V叫做G的群作用的一个无穷小生成元。定理2表明，只要已知形成一个李代数的基的无穷小生成元，那么总能通过取指数求得一个局部变换群，其李代数与已知李代数相同。

参考资料