设E与F为两个群胚，两个幺半群，两个群，两个环，两个向量空间，两个代数或两个酉代数。称从E到F中的映射f是同构，如果f有逆映射，并且f与f-1是两个同态。

设E与F为两个有序集。称从E到F中的映射f是同构，如果它存在逆映射，并且f与f-1都是递增的。即是说，对E的任一元素偶(x，y)，关系x≤y与f(x)≤f(y)等价。在E与F皆为全序集的情况下，可以证明任一双同态是同构。例如，指数函数x↦ex是从实数加法群R到严格正实数乘法群R*+上的同构。逆同构是对数函数x↦lnx。二者都是递增的，这两个双射也是有序集的同构。

定义

存在E和F两个集合，且对于E、F各存在一种运算，我们记作（符号可更换）*和· 。我们说f是一个群同构当且仅当和f是一个双射且对于E内的任意元素a，b都有。如果上面所描述的E、F为同一集合E，则说f是一个自群同构（automorphisme of group） 。

例子

假设存在两个群存在一个双射

那么我们说f是一个群同构，因为对于任意实数a，b，都有

即