良态是数学（以及其他相关学科）中对数学对象相对性质的一种描述。它并没有固定和规范的定义，使用时往往取决于相应数学研究的关注范围、所使用的数学工具和手段、甚至是各学科偏好，以表示对象的性质好到适合研究的程度。

详解

在不同的数学分支中，良态代表着不同的意义。通过区分哪些数学对象是“良态的”，哪些数学对象是“病态的”，有助于缩小研究范围和降低分析的难度，但是也相应的限制了所得结论的一般性。

乖巧

在纯粹数学和应用数学（例如，优化，数值积分或数学物理）中，表现良好也意味着不违反成功应用正在讨论的任何分析所需的任何假设。数学家（以及相关科学家）经常谈论一个数学对象 - 一个函数，一个集合，一个或那个类型的空间 - 是否“表现良好”。该术语没有固定的正式定义，并且取决于背景，数学兴趣，时尚和品味。为了确保一个物体“表现良好”，数学家引入了进一步的公理来缩小研究领域。这有利于分析更容易，但减少了所得结论的一般性。像非欧几里德几何学这样的概念曾被认为是不良行为，但现在已成为常见的研究对象。

相反的情况通常标记为病理性的。在大多数病例（基数或测量方法）是病理性的情况下，除非故意构建，否则病理情况不会在实践中出现，这种情况并不罕见。

术语“表现良好”通常以绝对意义应用 - 要么表现得好，要么表现不好。例如：

• 在算法推理中，表现良好的统计量是单调的，明确定义的和充分的。

• 在概率上，概率空间对应的sigma-algebra中包含的事件表现良好，可测量的函数也是如此。

不同寻常的是，该术语也可以在比较意义上应用：

在微积分学中

解析函数的性质要好于更一般的光滑函数；

光滑函数的性质要好于更一般的可微函数；

连续可微函数的性质要好于更一般的连续函数。函数的可微阶数越高性质就越好。

连续函数的性质要好于更一般的黎曼可积函数；

黎曼可积函数的性质要好于更一般的亨利·勒贝格可积函数；

勒贝格可积函数的性质要好于一般函数。

在拓扑学中

• 连续函数的性质要好于不连续的函数

• 欧氏空间的性质要好于非欧几何。

• 吸引不动点的性质要好于排斥不动点。

•费利克斯·豪斯多夫空间的性质要好于一般拓扑空间。

• 博雷尔集的性质要好于一般子集。

• 具有整数维的空间性质通常好于具有分形维数的空间。

• 有限维向量空间的性质要好于无限维向量空间。

在抽象代数中

域的性质要好于除环或环。

可分域扩张的性质要好于不可分域扩张。

赋范可除代数的性质要好于更一般的合成代数。

参考资料