赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。

基本形式

内容

设 ,若，则

若 ,则该不等式反向。

成立条件

仅当{{}，{ }}中至少有一个为零数列或者，且,使得,

离散形式

内容

设

或

为实数或复数列，a叫做多重指标，令

满足条件的p,q称为共轭指数，是规定,

若，则

若 ,则不等号反向。

成立条件

时，

,且

成立

积分形式

内容

设p、q为共轭指数，令

若

当

时，

,且

即 ,

…………………… ①

………… …………②

若 ,则不等号方向改变

成立条件

时，仅当

,使得

和在E上几乎处处成立时①式成立

时，仅当

，使得

a.e.(almost everywhere)于E，且

时，

②式成立

其他证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果 也是这样。因此，我们可以假设 且 。

如果 或 ，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设 和 位于内。

如果且，那么几乎处处有，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 和 ，情况也类似。因此，我们还可以假设 。

分别用f和g除 ，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当时

等式成立。

因此：

两边积分，得：.

这便证明了赫尔德不等式。

在 和 的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有

。更一般地，如果 和 位于 内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在（即 且 ），使得：

几乎处处

的情况对应于中的。 =的情况对应于中的。