在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连（当然从vj到vi也一定有路径），则称vi和vj是连通的。如果G是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。图的连通性是图的基本性质。连通度是指为了让图分解成孤立的子图所要删除的顶点数的最小值，是刻画网络的一个重要指标。

严格定义

对一个图G=(V,E)中的两点x和y，若存在交替的顶点和边的序列Γ=(x=v0-e1-v1-e2-...-ek-(vk+1)=y)(在有向图中要求有向边vi−(vi+1)属于E)，则两点x和y是连通的。Γ是一条x到y的连通路径，x和y分别是起点和终点。当x=y时，Γ被称为回路。如果通路Γ中的边两两不同，则Γ是一条简单通路，否则为一条复杂通路。如果图G中每两点间皆连通，则G是连通图。

相关概念

连通分量：无向图 G的一个极大连通子图称为 G的一个连通分量（或连通分支）。连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。

强连通图：有向图 G=(V,E) 中，若对于V中任意两个不同的顶点 x和 y，都存在从x到 y以及从 y到 x的路径，则称 G是强连通图。相应地有强连通分量的概念。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连分量。

单向连通图：设G=是有向图，如果u-\u003ev意味着图G至多包含一条从u到v的简单路径，则图G为单连通图。

弱连通图：将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图。如果一个有向图的基图是连通图，则有向图是弱连通图。

初级通路：通路中所有的顶点互不相同。初级通路必为简单通路，但反之不真。

性质

一个无向图G=(V,E)是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一：|E|\u003e=|V|-1，而反之不成立。

如果G=(V,E)是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目：|E|\u003e=|V|，而反之不成立。

没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于：|E|=|V|-1。

参考资料