连通性，是点集拓扑学中的基本概念。

定义

连通性是点集拓扑学中的基本概念。

其定义如下：

称拓扑空间X为连通的，若X中除了空集和X本身外没有别的既开又闭子集。

拓扑空间X的子集E称为连通的，若E作为X的子空间在诱导拓扑下是连通的。等价描述

1. 称拓扑空间X连通，若X不能表示成两个非空不交开集的并。

2. 称拓扑空间X连通，若当它分成两个非空子集的并A∪B时，有A交B的闭包非空，或B交A的闭包非空。

3.称拓扑空间X连通，若X内即开又闭的子集只有X与空集。

性质

【连通的性质】

1. 实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间

2. 连通性由同胚保持，从而是空间的拓扑性质

3. 设Ω是X的一族子集，它们的并是整个空间X，每个Ω中的成员连通，且两两不分离（即任意两个集合的闭包有非空交），则X连通

4. 若X,Y连通，则乘积空间X×Y连通

其他相关概念

1. 道路连通：

称X为道路连通的，若任取X中的两点x,y，有连接x,y的道路

2. 局部道路连通

称X为局部道路连通的，若对任意X中的点x,x的任一领域U包含x的一个道路连通邻域V

3. 局部连通

称X为局部连通的，若对任意X中的点x,x的任一领域U包含x的一个连通邻域V

道路连通空间一定是连通的，反之不然。

道路连通与局部道路连通之间没有必然联系。

连通与局部连通之间没有必然联系。

参考资料