迪尼定理是一个数学定理，提出者是乌利塞·迪尼。

正文

在数学中，迪尼定理叙述如下：设 X 是一个紧致的拓扑空间，

是 X 上的一个单调递增的连续实值函数列，即使得对任意 n 和 X 中的任意 x 都有

如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数

，那么这个函数列一致收敛到

。这个定理以意大利数学家乌利塞·迪尼命名。

对于单调递减的函数列，定理同样成立。这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件。

注意定理中的

一定要是连续的，否则可以构造反例。比如说在区间 [0,1] 上的函数列 {

}。这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数

：当 x 属于 [0,1) 时

等于 0 ，等于 1。但这个函数列不是一致收敛的，因为

不连续。

证明

我们对单调递增的函数列作证明：对于任意ε\u003e0 ，对每个 n ，设

再设

为使得

其中

显然每个

都连续，于是每个

都是开集（在拓扑空间中，连续函数被定义为使得开集的原像都是开集的函数，可以证明这种定义和一般的连续定义是等价的，而[0, ε）是正实数集中的开集。函数列{

} 是单调递减的，因此

是

的子集。又由于

逐点收敛到 f ，所有（

）的并集是 X 的一个开覆盖。但是 X是一个紧集于是存在正整数 N 使得

。因此对所有

，对所有的

，都有

于是{

} 一致收敛于

。

参考资料