因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。

定义

链式法则（chain rule），是求复合函数导数的一个法则。若　　则

所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设，，就是一个复合函数，并且 .

举例

(1)求函数的导数。设 ，.

(2)求函数arctg的导数。

证明

证法（一）

先证明个引理

在点可导的充要条件是在的某领域内，存在一个在点连续的函数,使从而

证明：

设在可导，令,(去心领域)；

,

在点连续，且,

反之，设存在,,它在点连续，且,x∈U(x0)

存在极限

在点可导，且

引理证毕。

设在点可导，在点可导，则复合函数在可导，且

证明：

由在可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数,使,且

又由在可导，同理存在一个在点连续函数,使,且

于是就有，

因为，G在连续，H在连续，因此在连续，再由引理的充分性可知在可导，且

证法（二）

在点u可导，在点x可导，则复合函数在点可导，且

证明：因为在u可导，则或

当，用乘等式两边得，

但当时，,故上等式还是成立。

又因为,用除以等式两边，且求的极限，得

又在x处连续(因为它可导),故当时，有

则

最终有

高阶导数

复合函数的最初几个高阶导数为：

参考资料

..2024-03-18

..2024-03-18

..2024-03-18