数学中，将某数除以零可表达为a/0，即a除以零；此式是否成立端视其在如何的数学设定下计算。一般实数算术中，此式为无意义。在程序设计中，当遇上正整数除以零程序会中止，正如浮点数会出现NaN值的情况。

简介

基本算术

基本算术中，除法指将一个集合中的物件分成若干等份。例如，10个苹果平分给5人，每人可得10/5 = 2个苹果。同理，10个苹果只分给1人，则他/她可得10÷1 = 10个苹果。

若除以0又如何？若有10个苹果，无人来分，每“人”可得多少苹果？问题本身是没有意义的，根本无人来，谈论每“人”可得多少根本多余。所以，10÷0，在基本算术中，是无意义或未下定义的。

另一种解释是将除法理解为不断的减法。例如“13除以5”，换一种说法，13减去两个5，余下3，即被除数一直减去除数直至余数数值低于被除数，算式为13÷5 = 2…3。若某数除以零，就算不断减去零，余数也不可能小于被除数，使得算式与无穷拉上关系，超出基本算术的范畴。

早期尝试

婆罗摩笈多（598–668年）的著作Brahmasphutasiddhanta被视为最早讨论零的数学和定义涉及零的算式的文本。但当中对除以零的论述并不正确，根据婆罗摩多，

"一个正或负整数除以零，成为以零为分母的分数。零除以正或负整数是零或以零为分子、该正或负整数为分母的分数。零除以零是零。"830年，摩诃吠罗在其著作Ganita Sara Samgraha试图纠正婆罗摩笈多的错误，但不成功：

"一数字除以零会维持不变。"婆什迦罗第二尝试解决此问题。令n/0=∞，虽然此定义有一定道理，但会导致悖论（参见下面）。

代数处理

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx =a中x的解（若有的话）。若设b = 0，方程式bx =a可写成 0x =a或直接 0 =a。因此，方程bx =a没有解（当a ≠ 0时），但x是任何数值也可解此方程（当a = 0时）。在各自情况下均没有的数值，所以1未能下定义。

除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：2 = 1

由：0×1=0，0×2=0，

得出0×1=0×2。

两边除以零，得出0×1/0=0×2/0。

化简，得：1=2！

以上谬论一个假设，就是某数除以0是容许的并且0 / 0 = 1。

虚假的除法

在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设a/b=ab+，当中b代表b的虚构倒数。这样，若b存在，则b =b；若b等于0，则0 = 0。参见广义逆。

数学分析

对于函数y=1/x，当x→0时，y→∞；反之亦然。

扩展的实数轴

表面看来，可以藉着考虑随着b趋向0的a/b极限而定义a/0。对于任何正数a，

而对于任何负数a，

所以，对于正数a，a/0可被定义为+∞，而对于负数a则可定义为-∞。不过，某数也可以由负数一方（左面）趋向零，这，对于正数a，a/0定义为-∞，负数a定义为+∞。由此可得（假设实数的基本性质可应用在极限上）：

最终变成 +∞ = −∞，与在扩展的实数轴上对极限赋予的标准定义不相符。办法是用没有正负号的无限，参见下面。

另外，利用极限的比无为0/0提供解释：

并不存在，而

若随着x趋向0，f(x)与g(x)均趋向0，该极限可等于任何实数或无限，或者根本不存在，视乎f及g是何函数（参阅洛必达法则）。由此，0/0难以被定义为一极限。

无限接近法

2/0.1=20，2/0.01=200，2/0.001=2000，2/0.000001=2000000，……

愈接近0，所得的数愈大，所以除以0个数会变做无限大。

黎曼球

集合 C∪{∞}为黎曼球（Riemann sphere），在复分析中相当重要。

参考资料