高斯整数是实数和虚数部分都是整数的复数。

定义

高斯整数是实数部分（实部）和虚数部分（虚部）都是整数的复数。也就是复平面中点集。

性质

所有高斯整数组成了一个整环，写作Z。它是个不可以转成有序环的欧几里德整环，所以是唯一因子分解整环。也就是在这个整环中，如同整数集一样，可以存在唯一因子分解定理。

高斯素数

1, −1, i及−i都是高斯整环里面的单位元。除此之外，在高斯整环里面不能因子分解的数称为高斯素数。高斯素数分为两类，其中一类是形式为（n是整数）的普通素数，如3，7等，它们在高斯整环里面也不能够因子分解。但是所有形式是的普通素数如5，13等，在高斯整环里面都可以唯一因子分解成两个共轭的高斯素数的乘积，如，。需要注意的是，这里我们也可以写成.这个是因为,而i是单位元，所以我们可以认为这两种分解是等价的。此外，素数2也可以分解，即