更新时间：2024-09-21 08:44
二元一次方程组（英文：system of linear equations in two unknowns）指的是由若干个二元一次方程构成的一组方程，这些方程含有相同的两个未知数且次数均为一，其标准形式可以表示为：
二元一次方程组的解存在三种可能，分别为：一组解、无数组解、无解。
包含二元一次方程组在内的方程工具的运用是代数研究的重要内容，在求解实际问题中具有重要的运用。
方程组的运用是代数学发展过程中的重要内容，可以追溯到数千年前。资料表明，早在古埃及和古巴比伦，已经能求够解二元一次方程组。古希腊时期，数学家丢番图（Diophantus）著有《算术》一书，对解方程进行了详尽分析。
在古代中国，对方程组也有许多研究成果。在《九章算术》中，收集了很多关于二元一次方程组的问题，并给出完整的解法，称为“盈不足术”。《孙子算经》中列举了一道“鸡兔同笼”问题，并利用盈不足术给出解法。其他古代中国经书，如《张丘建算经》《数书九章》等也对类似问题进行了研究。
在西方，对线性方程的研究始于17世纪后期。18世纪上半叶，苏格兰数学家科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）与瑞士数学家加百列·克莱姆（Gabriel Cramer）对线性方程组进行了研究，先后发现了克莱姆法则。法国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Carolus Fridericus Gauss）在前人研究的基础上提出了用于求解方程组的高斯消元法。18世纪下半叶，法国数学家艾蒂安·贝祖(Étienne Bézout)证明了线性方程组无解需满足的条件。19世纪，英国数学家史密斯H.J.S(Smith, Henry John Stanley) 和道奇森 (Charles Dodgson)先后将增广矩阵的概念引入并应用于解方程，在现代方程理论中具有重要运用。
二元一次方程组指的是由含有两个相同未知数的二元一次方程组成的一组方程。所谓的二元一次方程，指的是该方程中未知数的个数为2，且未知数项的次数都是1的方程，其标准形式是（其中表示常数，且 )。
二元一次方程组的一般形式可以表示为：
其中不全为零，也不全为零。
例如，和均为二元一次方程，并且含有相同的未知数，则它们可以构成一个二元一次方程组。此方程组可以表示为的形式。如果两个二元一次方程包含的未知数不全相同，不能构成一个二元一次方程组。
二元一次方程组的解，指的是同时满足方程组中两个二元一次方程左、右两边相等的值。由于对于任意一个二元一次方程而言，方程的解有无数个，因此二元一次方程组的解也是这两个二元一次方程的共同解。
一个二元一次方程组可能存在一组解、无数组解、无解三种情况。
1. 有一组解
例如，方程组的唯一解为：。
2. 有无数组解
例如，方程组存在无数组解。事实上，这种情况下两个方程为同一个方程。
例如，方程组无解，因为两个方程存在矛盾。
对于某一个二元一次方程组，可以从系数判断其是否存在解。
当时，该方程组有一组解。
当时，即，
如果 ，该方程组有无数组解。
当 时，即，
如果 ， 该方程组无解。
对于二元一次方程而言，其图像上可以表示为一条直线。该直线必经过点和点。直线上的点均满足二元一次方程。
对于二元一次方程组而言，如果方程的曲线为直线，方程的曲线为直线，则二元一次方程组的图像为在同一平面的两条直线。而直线的交点正是该方程组的解。
二元一次方程组的解法主要采用的是消元思想，即通过对两个方程组进行代入、加减等处理，可以化为一元一次方程，从而求出先求出一个未知数，进而求出第二个未知数。此外，比较法、公式法、图像法也是求解的常见方法。
利用方程组的一个方程，可以将其中一个未知数表示为含另外一个未知数的式子，将该式子代入第二个方程，可以消去其中一个未知数，这种方法称为代入消元法。
通过以下例子来介绍代入消元法的具体步骤。
求解方程组
记为①式，为②式，利用代入消元法求解的过程如下：
（1）换元：由①式可得：，记为③式；
（2）代入：将③式代入②式可得，记为④式；
（3）求解：由④式可解得：;
（4）代回求解：将代回①式可得并求解可得：，
因此方程组的解为：。
如果两个方程中，同一个未知数的系数相等（互为相反数），可以将方程的两边分别相加（相减），从而消去该未知数，得到一个一元一次方程，这种方法称为加减消元法。
通过以下例子来介绍加减消元法的具体步骤。
求解方程组
记为①式，为②式，利用加减消元法求解的过程如下：
（1）变形：选取某个未知数，通过方程变形使得两个方程中对应未知数的系数相等（互为相反数），如果已经存在系数相等（互为相反数）的未知数，则无需此步骤。例如在本问题中，两个方程中的系数均为1，如果要消去，则无需变形。
（2）加减：②-①消去可得，，记为③式；
（3）求解：求解③式可得：;
（4）代回求解：将代回①式可得并求解可得：，
因此方程组的解为：。
分别用两个方程将其中一个未知数使用含另外一个未知数的表达式表示，由于这两个表达式相等，两式相等可以得到一个一元一次方程，这种方法称为比较法。
通过以下例子来介绍加减消元法的具体步骤。
求解方程组
记为①式，为②式，利用加减消元法求解的过程如下：
（1）换元：由①式可得：，记为③式；
由②式可得：，记为④式；
（2）联立：③式和④式可得到一元一次方程，记为⑤式；
（3）求解：求解⑤式可得：；
（4）代回求解：将代回①式可得并求解可得：，
因此方程组的解为：。
二元一次方程组，如果存在唯一解，即时，
则该解可以表示为：
也可用行列式表示：
利用上述公式直接解方程的方法称为公式法。
求解方程组
利用公式法求解需要先将方程组化为标准形式：
式中，。
代入求解公式可得：
，
，
因此方程组的解为：。
二元一次方程组的图像为在同一平面的两条直线，直线的交点正是该方程组的解，以此求解方程组的方法称为图像法。
求解
如右图所示，分别画出直线和的图像，可以看到两条直线存在一个交点，也就是该方程组的解为：。
在实际数学问题中，方程是解决问题的一种重要工具。例如，对于“鸡兔同笼”类问题的求解，二元一次方程组是重要的解法。
“鸡兔同笼”出自于中国南北朝时期的《孙子算经》中。该问题的描述为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、 兔各几何？答曰 : 雉二十三；兔一十二。术曰 : 上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。”
用现代文可以翻译为：“一个笼子里有鸡和兔，从上数有35个头，往下数有94只脚，问鸡和兔各有多少只？”
如果假设鸡有只，兔有只，根据题意可以列出方程组：
“鸡兔同笼”便转化为二元一次方程组的求解。
在实际运用中，往往涉及到问题中未知数个数超过三个，并且方程的个数不一定等于未知量的个数。含有个未知量、个方程的线性方程组可以表示为：
其中系数，常数都是已知数，是未知数。当常数项不全为零时，称为非齐次线性方程组，否则为齐次线性方程组。可以通过一个由系数与常数组成的矩阵来描述上述线性方程组，如下所示：
上述矩阵称为该线性方程组的增广矩阵，线性方程组可改写为矩阵乘法形式：。
矩阵和线性方程组是线性代数的核心概念，利用矩阵理论求解线性方程是线性代数的重要内容。对求解线性方程组的研究是一个很热门的课题，因为它是数学与其他自然和社会科学结合最多的内容之一，例如几何学、运筹学、经济学等。很多研究领域的问题可以抽象为一个线性系统，而非线性系统有时也近似地简化为线性系统，对线性系统的研究最后归结到线性方程组的求解问题。
Systems of Linear Equations - Two Variables.libretexts.2023-05-28