分母有理化（Rationalize the denominator），是指把一个分式的分母中的根号化去。分母有理化一般是用一个适当的代数式同乘以分子与分母，使分母不含根式。有理化后通常方便运算，有理化的过程可能会影响分子，但分子及分母的比例不变。

分母有理化对于一个含有根号的分式代数式，可以通过乘以它的有理化因子并同时除以同一个因子，从而把原分式化成分母不含根号的代数式。这种变形过程称为分母有理化。在进行根式的运算、极限运算中，经常用到分母有理化。

正确进行分母有理化的关键是确定分母的有理化因式——两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式。从解题思维规律上看分母有理化可分为以下八种类型：同乘型；通分型；约分型；配方型；裂项法；换元法；乘方开方型；倒数转换型。

定义

分母有物理化学，简称有理化，指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。有理化后通常方便运算，有理化的过程可能会影响分子，但分子及分母的比例不变。

单项式

应用一般根号运算：

。

二项式

应用平方差公式：

。

应用立方和、立方差公式：

。

多项式

逐项有理化

。

辗转相除法

设 有理化

待定系数法

，求

设

计算方法

常规方法

下面介绍两种分母有理化的常规方法，基本思路是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。

分母单项式

例如二次根式，下面将之分母有理化：

分子分母同时乘以,分母变为2，分子变为，约分后，分数值为。在这里我们想办法把化为有理数，只要变为它的平方即可。

分母多项式

再举一个分母是多项式的例子，如，下面将之分母有理化：

思路仍然是将分子分母同乘相同数。这里使用平方差公式，同时乘上，分子变为，分数值为，再约分即可。也就是说，为了有物理化学多项式的分母，原来分母是减号，我们乘上一个数字相同但用加号连接的式子，再用平方差公式。

此方法可应用到根式大小比较中去。

特殊方法

分解约简法

将 分母有理化：

这里我们将分母分解因式后提取出来，这样避免采用平方差公式分解。这种方法较适用于分子分母含有公因式时。

配方约简法

将 分母有理化：

这里我们将分子化成平方式，然后利用完全平方公式配方，再和分母约分，这样避免采用平方差公式分解。

注意事项

下面举一个含参数的二次根式：

将 分母有理化：

在这里我们将分子用平方差公式分解因式，然后分解！注意在这里我们不能将分母乘以，因为 有可能等于0，若分情况讨论又比较麻烦，此时我们就应该注意分子和分母的结构关系。

有理化因式

例如：

将分子、分母同时乘以分母的有理化因式。

如的有理化因式是正负，的有理化因式是：或。

参考资料

..2024-01-31

..2024-02-01

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..2024-01-31