加权余量法（Weighted Residual Method, WRM），又称加权残量法，加权残余法，在应用数学中是一种求解微分方程近似解的方法。该方法假设微分方程的解可以通过近似函数的有限和来很好地近似，并通过选择合适的测试函数和相应的系数值，使得这些测试函数的线性组合与实际解之间的误差在所选范数中最小化。

概述

加权余量法在固体力学中，是求解线性、非线性微分方程的一种有效方法，它是基于等效积分形式的近似方法之一，也是通用的数值计算方法。有限元法、边界元法、无网格法都是加权余量法的特殊情况。由于这三种方法各有其特点，所以都各自发展为一种独立的方法。加权余量法最早是用于流体力学、传热等科学领域，后在固体力学中得到了更大的发展。

原理

先假设一个称为试函数的近似函数，把它代入要求解的微分方程和边界条件或初值条件；这样的函数一般不能完全满足这些条件，因而出现误差，即出现残数或残值；选择一定的权函数与残数相乘，列出在解的域内消灭残数的方程式，就可以把求解微分方程的问题转化为数值计算问题，从而得出近似解。

如某—应用科学问题的控制导数方程式和边界条件分别为：

Fu-f=0 (V域)， （1）。

Gu-f=0 (S边界)， （2）。

式中u为待求函数，F和G为算符；f和g为不含u的项。设试函数为：

式中Ci为待定参数或函数。式(3)一般不能满足式(1)和式(2)，从而出现内部残数Ri和边界函数Rb，即：

为消灭残数，分别以内部权函数W1和边界权函数Wb乘式(4)和(5)，列出消除残数的方程：

它们将转变为代数方程式，从这些方程式求出Ci，就获得满足式(1)和式(2)的近似解(3)。

若解(3)中所选择的试函数项Ni，事先已能满足式(2)，则只需用式(6)消除残数，这种方法称为内部法。若Ni已满足式(1)，则只需用式(7)消灭残数，这种方法称为边界法。若Ni既不满足式(1)，又不满足式(2)，则须用式(6)和式(7)，这种方法称为混合法。

作为一种数值计算方法，加权残数法具有下述优点：①原理的统一性：寻求控制导数方程式的近似解，不分问题的类型和性质；②应用的广泛性：数学、固体力学、流体力学、热传导、核物理和化工等多学科的问题都能应用；既可解边值问题、特征值问题和初值问题，也可解非线性问题；③不依赖于变分原理：在泛函不存在时也能解题；④计算误差可知；⑤方法一般比较简单、快速、准确，工作量少，程序简单。

权函数的选择

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效方法。任何独立的完全函数都可用来作为权函数。加权余量法可分为内部法、边界法和混合法，在内部法中，又可分为配点法（以笛拉克函数δ作为权函数）、子域法、最小二乘法、力矩法、伽辽金法等。

参考资料