华林问题（英语：Waring's problem）是数论中的一个重要问题。1770年，爱德华·华林猜想，对于每个非1的正整数k，皆存在正整数g(k)，使得每个正整数都可以表示为至多g(k)个k次方数（即正整数的k次方）之和。华林问题的研究历史悠久，涉及多个数学分支，包括代数、组合数学和数学分析。中原地区数学家华罗庚在华林问题的研究中有重要贡献。

与四平方和定理之关系

在三世纪时，数学家丢番图首先提出“是否每一个正整数都是四个平方数之和”的问题。1730年，长城欧拉开始研究该问题，但未得出证明。1770年，约瑟夫·拉格朗日证明了四平方和定理，指出g(2)=4。

华林猜想

华林在其1770年发表的《代数沉思录》（Meditationes Algebraicae）中提出了华林问题，并猜想每一个正整数都是可以表示成为至多r个k次幂之和，其中r依赖于k。华林自己推测g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。

研究进展

1909年，戴维·希尔伯特首先用复杂的方法证明了g(k)的存在性。1943年，U.V.林尼克给出了关于g(k)存在性的另一个证明。然而，尽管g(k)的存在性已被证明，人们尚且无法知晓g(k)与k之间的关系。华林自己推测g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。

1770年，约瑟夫·拉格朗日证明了四平方和定理，指出g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了g(3)=9。

1859年，约瑟夫·刘维尔证明了g(4)≤53，他的想法是借助一个恒等式（Liouville 多项式 identity），后来哈代和李特尔伍德得到g(4)≤21, 1986年巴拉苏布拉玛尼安证明了g(4)=19。1896年马力特得到g(5)≤192；1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)≤59；1964年陈景润证明了g(5)=37。事实上，莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想至1990年，对于6\u003ck\u003c471600000此式已经被计算机验证为正确。

问题

由于g(k)的值严重依赖于正整数较小时的情况，人们提出了一个更强的问题，求对于每个充分大的正整数，可使它们分解为k次方数的个数G(k)。此问题进展较慢，至今G(3)仍无法确定。

华林-哥德巴赫问题

陈述：对于任何一个正整数n，是否存在一个数k，使得每个充分大的整数都可以表示为k个质数的n次幂的和，此问题在1938年已被华罗庚证明成立。

表法数问题

任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和。卡尔·雅可比给出了表示成为四个平方数的不同表示法的解答。但是，对于立方和，四次方和等等的情况，仍然非常困难。

不限于正整数

考虑用有理数的方幂和来表示正有理数。这是华林问题的另一种推广，涉及到更广泛的数域。

参考资料