更新时间：2024-09-21 08:26
压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种从远少于传统采样定理所要求的数据中恢复出信号的信息处理技术。压缩感知来源于稀疏信号理论中，信号在变换域（如傅里叶变换、小波变换等）下可以稀疏表示的原理。即使信号没有被完全采样，只要采样满足一定的条件，就可以重新准确地恢复出原始信号。
20世纪初，奈奎斯特（Harry Nyquist）定理确立了信号重建的采样频率要求。1948年克劳德·香农（Shannon）的信息论进一步为信号传输提供理论基础。2004年，压缩感知作为一个独立领域兴起，证明稀疏信号可在低采样率下重建。2006年，坎德斯（Emmanuel Candès）和多诺霍（Donoho）为压缩感知提供数学基础。2010年后，机器学习和深度学习技术推动了压缩感知的发展，引入了适应性更强的测量函数，动态压缩感知成为新研究趋势。
基于稀疏信号处理的数学模型是CS的理论基础之一，此外需要满足信号的稀疏性、采样矩阵（测量矩阵）的非相关性、采样数据满足某种不完全性等前提要求及其对应的关键技术。 信号可通过正交基、过完备冗余字典或学习字典进行稀疏表示，并通过随机高斯矩阵、部分傅里叶矩阵或自适应测量矩阵进行测量。重构过程依赖于如匹配追踪（MP）和正交匹配追踪（OMP）的贪婪算法、L1范数最小化等凸优化算法，以及贝叶斯重构等方法。借此，CS实现了高效的数据采集和重构，在数据存储、传输和图像处理等领域具有重要应用，特别是在资源受限或数据量庞大的场景中，能够显著提高效率，但是也依然存在噪声干扰、重构算法欠优化等自身局限性，未来可行的研究方向有与深度学习结合的深度压缩感知，以及自适应的动态压缩感知等。
压缩感知是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析等基础上的一种全新的信息获取与处理的理论框架。它基于信号的可压缩性，通过低维空间、低分辨率、欠奈奎斯特（Nyquist）采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知。故而从一定程度上解决了现代社会信息量激增带来的信号采样、传输和存储的巨大压力。压缩感知不仅让人们重新审视线性问题，而且丰富了关于信号恢复的优化策略，极大的促进了数学理论和工程应用的结合。
奈奎斯特采样定理指出传统的信号采样过程要满足采样频率不能低于模拟信号频谱中最高频率的2倍的。然而，随着信息需求量的飞速增长，信号带宽也必须急速增加，因此对信号处理能力以及硬件设备的要求也越来越高，给巨量引擎数据处理带来了困难。另外，实际应用中人们常采用各种压缩、编码方式，抛弃非重要数据，以较少的比特数表示信号来降低存储、处理和传输的负担，这种高速采样再压缩编码的过程浪费了大量的采样资源。既然采集数据之后要压缩掉冗余信息，而这个过程又相对较难，那么设法直接采集压缩后的数据，并保证在信息没有损失的情况下能够完全重建原信号，这样的采集任务要轻得多，而且还省去了压缩的麻烦。这就是所谓的压缩感知，即直接感知压缩了的信息。
20世纪初，哈利·奈奎斯特（Harry Nyquist）提出了奈奎斯特采样定理，定理指出，为了无失真地从其样本中重建一个带限信号，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍，为后来的压缩感知奠定了基础。
克劳德·香农（Shannon）在1948年的论文中奠定了信息论的基础。特别是他关于信道容量和编码理论的研究。这些理论后来被用来指导如何有效地存储和传输稀疏信号。
在20世纪80年代末和90年代初，地球物理学开始引入L1范数最小化方法来进行地震反射信号的分析和处理。L1范数最小化技术能够通过稀疏约束来更有效地重建和去噪地震信号，这一技术在地震勘探数据处理中发挥了重要作用。
2004年，埃马纽埃尔·坎德斯（Emmanuel Candès）和贾斯汀·罗姆伯格（Justin Romberg）的工作展示了稀疏信号可以从远低于传统采样率的随机测量中被准确重建，这标志着压缩感知作为一个独立领域的诞生。
2006年，Candes等从数学上证明了由部分傅里叶变换系数可精确重构原始信号，为CS奠定了理论基础。基于这些成果，大卫·多诺霍（David L Donoho）正式提出了压缩感知理论的概念及相关理论框架。该理论认为只要信号是稀疏的或在变换域是稀疏的，便能用一个与稀疏基不相关的观测矩阵将高维信号投影到一个低维空间上，这些少量投影包含了重构信号的足够信息，因此可通过求解优化问题用这些投影以高概率重构出原信号。采样速率不再决定于信号带宽，而决定于信号中信息的结构和内容，CS理论为信息采集和处理技术带来了一次颠覆性的突破。
压缩感知作为一种革命性的数据采集和信号处理方法，自2006年后迅速引起了广泛关注。它在医学成像、无线通信、天文观测等多个领域展示了显著的应用潜力、突破性的理论和应用价值。压缩感知被《麻省理工科技评论》评为2007年度十大科技进展之一，成为信号处理领域的重要里程碑。
2010年以来，随着机器学习和深度学习的不断发展，压缩感知也随之更新换代，基于深度学习的压缩感知方法用一个经过训练得到的测量函数代替原来的测量矩阵，相比于事先选取的固定测量矩阵，基于数据集训练得到的测量函数对原始信号具有更强的适应性。此外，动态压缩感知针对随时间变化的信号进行处理，也是近年来的研究热门。
CS通过利用信号的稀疏性质和随机投影来实现从远少于传统采样定理要求的测量值中重建原始信号。具体来说，压缩感知首先识别出信号在一个特定变换基下的稀疏表示，这意味着信号只有少数几个显著的非零元素。然后，通过一个随机测量矩阵将原始的高维稀疏信号投影到一个低维空间，得到一组测量值。这个随机矩阵的设计对于保持信号重建的可能性至关重要。最后，通过解决一个优化问题，特别是最小化L1范数问题，来鼓励解的稀疏性，从而从这些测量值中恢复出原始的稀疏信号。
传统采样理论侧重于对连续信号的均匀或非均匀采样，并通过内插方法恢复信号。而压缩感知理论则关注于有限维空间中的稀疏信号，通过点积获取观测数据，并利用优化算法从这些数据中恢复出原始信号。压缩感知的优势在于它能够在远低于奈奎斯特频率的采样率下恢复信号，这对于数据采集和存储具有重要意义。
可压缩（稀疏）的定义：考虑一个一维信号，都可以用维基向量，为了简化问题，假设基向量为规范正交向量，使用的基矩阵，信号可以被表示为：，其中，是投影系数构成的维列向量。
显然，和是同一个信号的等价表示，其中是在时域或空间域的表示，是在域的表示。当信号可以仅被个基向量线性表示时，则称信号为K-稀疏。如果信号可以被很少的大系数和很多的小系数表示的话，则称信号为可压缩的。传统思路中压缩信号就是采用这种正交变换的方式，其编码解码的策略为：编码首先构造正交基矩阵，作变换，保留中最重要的个分量及其对应的位置。解码将个分量放回到其对应的位置， 并将其他位置填0，以此构造，最后进行反变换求得重构信号。
从信号的压缩观测中实现信号的重建是需要满足一定条件的：
从数学模型可知，压缩感知理论的实现包含三个关键要素：稀疏性、非相关观测、非线性优化重建，其中信号的稀疏性是压缩感知的必备条件，非相关观测是压缩感知的关键，非线性优化是压缩感知重建信号的手段。
稀疏字典是一组基向量的集合，这些基向量可以是正交的或过完备的（即基向量的数量多于信号的维度）。在压缩感知中，稀疏字典用于将信号表示为这些基向量的稀疏线性组合。理想情况下，信号在稀疏字典的变换域中只有少数几个非零的系数，这样信号就可以被有效地压缩和重构。所以稀疏表示系统的设计归结为稀疏字典的设计。稀疏表示字典的性能决定于其稀疏表示的程度，字典中原子与图像的结构越匹配就越易形成稀疏表示。
正交基字典提供最简洁的表示，每个信号仅需一次变换即可完全表示；过完备冗余字典则增加了冗余元素，允许多种稀疏表示，提高表示的灵活性；学习字典通过数据驱动的方法，从训练数据中自动学习最适合的字典，使得信号表示更精准。三者共同构成了从固定到灵活、从先验到自适应的稀疏表示框架。
压缩感知提出之初均假设字典为标准正交基字典，标准正交基字典一般由一个正交变换得到，如傅里叶变换、DCT（离散余弦）变换、沃尔什变换、小波变换等，其特点是构造简单、实现快速、表示过程的复杂度较低。在信号特征与字典中原子特征一致的时候，能够得到高效精确的表示。但是，对于实际信号来说，信号的稀疏度是未知的，极少数信号在上述常见正交基上的投影系数只存在少量非零值，或者说，这些固定的正交基不足够灵活的来表示信号如声音或自然图像所具有的复杂未知规则性，使信号在变换域足够稀疏。
对于信号的稀疏表示问题，冗余的字典不仅可以使稀疏表示更加灵活，而且能提高信号表示的稀疏度。大量的研究表明超完备冗余字典下的信号稀疏表示更加有效，故而将CS理论中的稀疏表示从正交基扩展到超完备冗余字典，其利用冗余性可以得到更加有效的表示。一方面，框架字典的设计具有较强的理论基础，另一方面，例如过完备冗余字典中的框架字典由给定的框架结构决定，改变函数集合的参数取值，就可以方便地得到不同的字典原子。
传统的压缩感知字典依赖于固定的先验信息，这限制了其对信号变化的适应性。为了克服这个问题，研究者提出了自适应冗余字典，也叫学习字典。它能够根据信号的具体内容、特征或纹理，通过字典学习算法自我调整和优化。尽管这种方法可能面临原子数量增加的问题，但它提供了对不同类型信号的灵活适应性。学习字典的过程旨在从数据中提取最优的稀疏表示，使字典的原子更贴合图像信号的特性，这通常涉及使用托马斯·贝叶斯框架下的最大似然或最大后验概率方法，以及如K-SVD（MOD算法）和ILS-DLA等算法，以选择和构建最适合给定信号的字典原子。这些方法通过利用信号的先验信息，提高了字典的适用性和表示效率。
在对信号进行稀疏表示后，接下来要设计与表达系统不相干的感知系统，即观测采样矩阵； 测量矩阵设计是压缩采样理论的核心，直接决定了压缩采样理论是否能够成功实现。由于压缩测量个数和信号重建精度以及信号稀疏性有着密切的联系，因此测量矩阵的设计应该与稀疏字典的设计统筹考虑。压缩感知理论成立的条件之一就是要求感知矩阵和稀疏矩阵低相关的情况。直觉上，可以看到观测矩阵和稀疏矩阵是不相关的，所以采样加进去的新信息在已知的稀疏矩阵基上并不被表示。从原理的角度看，测量矩阵的设计要以非相干性或等距约束性为基本准则，既要减少压缩测量个数又要确保压缩感知的信号重建精度。从技术的角度看，测量矩阵的设计包括两个方面：一是测量矩阵的元素；二是测量矩阵的维数，压缩测量个数M与信号稀疏性K和信号长度N应该满足一定的关系。
目前随机矩阵在观测矩阵中被广泛使用，例如高斯随机矩阵，在很大概率上对于固定的字典矩阵不相关，其优点在于它几乎与任意稀疏信号都不相关，因而所需的观测次数最小。此外还有适用于硬件的雅各布·伯努利随机矩阵，处理特定频率信号的傅里叶矩阵、灵活度高的投影矩阵等。随机观测矩阵属于非适应性的测量，在实际实现中具有复杂度较高，难以在大规模问题中应用的缺点。
除了随机观测矩阵之外，还有多种基于RIP理论的确定性测量方法，需要用到例如边膨胀图邻接矩阵，多项式确定性矩阵等等。确定性测量通常需要先产生一个随机观测矩阵，再利用信号的稀疏基的信息训练学习出一个优化的观测矩阵。相比随机观测矩阵，优化之后得到的观测矩阵与字典矩阵之间具有更低的相干性，且能够提高信号的重构精度或者在相同的重构精度下具有更少的测量数目，这也是确定性测量相比于随机测量的优势所在。
自适应测量矩阵在压缩感知中通过动态调整其结构来优化信号的稀疏表示和重构质量。这种矩阵利用信号的先验信息，如稀疏域系数，进行自适应变换，以减少与稀疏基的相关性，从而提高重构精度。特别是在低信噪比的场景中，自适应观测矩阵能够有效地抑制噪声干扰，提升信号重构性能。此外，通过特定的优化算法，可以进一步降低观测矩阵与稀疏基的相关性，优化测量过程。
结构化测量矩阵是压缩感知领域中用于信号采样的一种特殊矩阵，它具有可预测和规则的数学结构，这使得它在硬件实现上更为简便，同时保持了压缩采样的效率和信号重构的质量；例如Toeplit结构化矩阵的对角线元素一致性，使得它们在处理信号时能够利用信号的相关性，从而减少所需的采样数据量。此外，结构化矩阵通常更容易满足压缩感知所要求的RIP，这是确保信号可以从少量测量中准确重构的关键属性。
重建算法通过优化技术从少量测量值中恢复出完整的信号，主要依赖于信号的稀疏性质。算法首先将信号表示为变换域中的稀疏向量，然后通过测量矩阵获取压缩测量值。接着，构建并求解一个优化问题，旨在找到与测量值一致的最稀疏解。最后，利用稀疏解通过逆变换重建原始信号。作为不适定的数学反问题，压缩感知信号重建在理论上存在着无数多个可行解。但是，上文压缩感知相关定理指出，非相干性或等距约束性准则为近似精确或精确重建提供了理论上的保证。重建算法的设计应该遵循较少的信息下快速、稳定、精确地重建原始信号的基本准则。
贪婪迭代算法是针对组合优化问题提出的，该类算法主要是将信号与原子字典之间的联系作为测量原子（系数）更加有效或非零的一种方式。基本原则就是通过迭代的方式寻找稀疏向量的支撑集，并且使用受限支撑最小二乘估计来重构信号。
第二类是凸优化算法或最优化逼近方法，这类方法通过将非凸问题转化为凸问题求解找到信号的逼近。
其中的L1范数凸优化算法利用信号的稀疏性质来从少量测量中重建原始信号。通过最小化L1范数，即信号表示的绝对值之和，算法鼓励产生稀疏解，其中许多元素为零或接近零。这种稀疏性促进了信号的高效重建，尤其是在测量数量远低于信号维度时。凸优化问题的形式允许使用成熟的优化技术求解，如基追踪、最小绝对收缩选择、弹性网络等，确保了问题的可解性和解的质量。此外，L1范数优化问题在存在噪声的情况下也能提供稳定的解，增强了算法的鲁棒性。
贝叶斯重构算法是基于贝叶斯框架提出，并考虑到了信号的时间相关性，特别是当信号具有较强的时间相关性时，能够提供比其他重构算法更优越的重构精度。在贝叶斯方法中，原始信号被视为一个随机变量，其先验分布反映了信号的稀疏性质。观测数据通过测量矩阵转换，生成测量向量，这个向量是另一个随机变量。贝叶斯重构的目标是找到后验分布，即在给定观测数据的条件下原始信号的条件分布。贝叶斯重构算法的核心在于使用贝叶斯定理，该定理提供了在观测数据下计算信号后验分布的数学基础。通过将观测数据的似然性与信号的先验知识结合起来，算法能够生成信号的估计值，这通常通过贝叶斯线性回归、马尔科夫随机场、蒙特卡洛方法等技术来实现。
迭代重加权算法主要用于压缩感知和稀疏信号重建。其原理在于利用信号的稀疏性质，通过迭代过程不断调整权重，优化重建信号的质量。在每一步迭代中，算法根据当前解的稀疏度分配不同的权重，重点突出信号中变化显著的部分，从而提高重建的精度。此外，迭代重加权算法具有良好的灵活性和适应性，能够根据信号特性动态调整权重，使其在处理不同类型的稀疏信号时都具有较好的鲁棒性。
与其他重构算法相比，迭代重加权算法的优势在于其对稀疏信号的精确恢复能力，以及在处理噪声数据时的强大性能。它不需要信号满足严格的稀疏条件，即使在测量数量较少的情况下也能实现高准确度的重建。而且该算法通常具有较低的计算复杂度，使其在实际应用中更为高效。通过迭代过程中的权重调整，算法能够逐步聚焦于信号的重要特征，减少噪声和伪影的影响，从而在信号重建领域展现出其独特的优势。
总变差最小化算法通过最小化图像梯度的L1范数来促进图像的稀疏表示，从而在图像重建和去噪中保持边缘信息和抑制噪声。该算法的核心在于它能够捕捉图像的局部特性，尤其是在保留图像的块状特性方面表现出色。在图像复原和去噪中，总变差最小化通过添加正则项到最优化问题模型中，帮助保持图像的光滑性，同时消除由于算法本身可能引入的伪影。这种方法在处理模糊和噪声问题时特别有效，因为它可以减少图像中不需要的波动，同时保留图像的重要边缘和纹理信息。此外还有一个主要优势是它对图像的稀疏结构非常敏感，这使得它非常适合于压缩感知和图像压缩的应用。然而，该算法也有局限性，例如在处理细节丰富的图像时可能会导致细节丢失，使得复原后的图像过于光滑。
同伦算法是一种用于解决稀疏重构问题的有效算法。其核心思想是通过逐步增加稀疏度来逼近原始稀疏信号，直到找到一个满足观测数据的稀疏解为止。同伦算法通常结合了最小二乘法和L1范数（稀疏正则化）来实现信号的稀疏重建。优点之一是它能够有效地处理大规模的稀疏重建问题，并且通常具有较快的收敛性能。在实际应用中，同伦算法常被用于压缩感知图像重建、信号处理和机器学习等领域，特别是在需要高效处理大量数据和复杂信号结构的情况下表现突出。
深度学习重建算法在压缩感知领域中引入了神经网络模型，用于从少量测量数据中高效地重建信号或图像。这类算法利用深度学习模型（如卷积神经网络、自动编码器和生成对抗网络）来学习信号或图像的复杂结构特征，从而提高重建质量和效率。与传统的优化方法相比，深度学习重建算法具有较强的适应性和鲁棒性，能够处理高维数据和复杂的非线性关系。通过大量的训练数据，深度学习模型可以捕捉信号的先验信息，显著提升重建效果。
稀疏性（Sparsity）是压缩感知领域的一个核心概念，它描述了一个信号在特定变换域中非零元素的数量。它允许从远低于传统采样定理要求的采样点准确重建原始信号，稀疏性越高，信号中的非零元素越少，所需的采样率和存储空间就越低，从而提高了压缩效率。
压缩感知的鲁棒性是指在噪声干扰或不完全采样情况下恢复稀疏信号的能力，这关系到系统的可靠性和有效性。基追踪和正交匹配追踪等算法通过优化技术提高信号重构准确性，同时观测矩阵的设计对鲁棒性至关重要，它影响系统对噪声的抵抗能力和重构准确性。
压缩感知中的重构误差是评估算法性能的关键指标，包括均方误差（MSE）、峰值信噪比（PSNR）和结构相似性指数（SSIM），他们通常用于定量评估重构信号的质量，但侧重点不同。MSE通过计算信号差的平方平均值来衡量误差，与能量损失直接相关。PSNR基于MSE，考虑信号最大功率，常用于评估图像和音频质量。SSIM则综合亮度、对比度和结构信息，全面评估重构信号的视觉质量。
压缩比是衡量压缩感知性能的重要指标之一，它表示原始信号经过压缩后的数据量与原始数据量之间的比值。在压缩感知中，通过优化测量矩阵和稀疏表示，可以实现较高的压缩比，从而在保证信号重建质量的前提下降低数据传输和存储成本。
峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR）是压缩感知性能评估中常用的指标之一，用于衡量重建信号与原始信号之间的质量。它是通过计算信号的均方误差与信号的最大可能能量之比来定义的，通常用于评估压缩感知算法在恢复信号时的准确性和保真度。较高的PSNR值表示重建信号与原始信号之间的差异较小，反映了算法的良好性能。
限制性不等式（Restricted Isometry Property, RIP）是评估压缩感知中测量矩阵质量的重要概念。它指的是一个测量矩阵能否保持信号的稀疏性质，即是否能够在保留原始信号稀疏结构的同时进行有效的压缩和重建。具体来说，RIP要求测量矩阵在某种意义上是近似正交的，能够保证其子矩阵的特定范数接近于单位矩阵的相应范数。这种性质保证了通过压缩感知方法获得的稀疏表示是准确且可靠的，为信号重建提供了理论保障。
遥感成像是利用传感器从远距离获取目标的电磁波信息，并对这些信息进行分析和应用，为了获取清晰或高清的图像，通常需要存储和传输大量的像素信息，这在传统的采样和传输方法中往往需要大量的数据和能量消耗；但是遥感图像在某些变换域（如小波域或曲波域）中具有稀疏性。这意味着图像的大部分变换系数的绝对值较小，而只有少数系数具有较大的绝对值。利用这一特性，可以通过压缩感知的方法，使用一个与变换基不相关的测量矩阵将高维信号投影到低维空间上，从而减少所需的采样数量。
压缩感知（CS）技术在成像领域中减少数据采集量，提升效率与降低成本。初用于单像素相机，CS技术可通过后期算法从有限数据重建高质量图像。在医学成像，如MRI中，通过减少采样数据显著缩短成像时间与降低成本。此外，CS也应用于合成孔径雷达（SAR）成像，提高分辨率和减少数据存储需求。在图像复原、去模糊、融合与压缩等方面，CS通过观测矩阵和稀疏表示改善图像质量。它还用于图像超分辨率重建和特征提取，提高识别准确性。尽管CS在成像领域取得显著进展，但挑战如噪声敏感性、重建算法复杂度和观测矩阵设计仍需进一步研究。
地震勘探利用地震波分析地下结构，以探测地下资源。然而，实际数据采集常因设备限制、地形障碍或数据损坏导致信息不完整。压缩感知技术通过欠采样获取地震波数据，并运用其重构算法恢复出完整的地震信号，有效解决了数据缺失问题。特别地，在地震数据矩阵出现列缺失时，低秩矩阵模型能够将恢复问题转化为求解矩阵核范数最小化问题，进而恢复出原始矩阵。这种方法不仅提高了FinalData的准确性，也优化了地震勘探的效率和可靠性。
压缩感知技术在结构健康监测领域的应用主要体现在有效压缩和鲁棒传输海量监测数据。通过利用信号的稀疏特性，可以在减少传感器资源和能量消耗的同时，实现对振动响应等数据的高效采集。Bayesian压缩感知(BCS)不仅能重构信号，还具有去噪效果，使重构结果更接近原始数据。同时，BCS和CS方法在测量点数增加时重构误差减少，但对宽带过程信号的压缩效率和重构精度较低。针对无线传感器网络中的数据包丢失问题，有学者提出了基于压缩感知的FinalData方法，有效恢复了丢失的信号数据，验证了压缩感知技术在结构健康监测中的实用性和鲁棒性。
在压缩感知中，噪声和干扰的处理是一个关键挑战。由于实际信号采集过程中不可避免地会受到各种噪声的影响，如何在稀疏信号重构时准确区分噪声和信号成为难题。此外，噪声的存在可能会破坏信号的稀疏性，增加重构算法的复杂度。压缩感知系统需要设计鲁棒的重构算法，以最小化噪声带来的影响，确保信号重构的准确性和可靠性。
重构算法面临的挑战主要包括算法的收敛速度、准确性和计算复杂度。由于信号的稀疏性和测量矩阵的非确定性，设计一个既快速又准确的重构算法十分困难。算法需要在有限的测量数据下准确地恢复原始信号，同时处理噪声干扰。此外，对于大规模信号重构，算法的计算效率尤为关键，以满足实时或近实时处理的需求。因此，合理的平衡重构算法性能与计算资源是压缩感知领域的一个重大挑战。
在压缩感知领域，稀疏性依赖是一个显著的挑战，特别是针对那些信号并非严格稀疏而是具有复杂结构或者低秩性质的情况。传统的压缩感知方法假设信号可以通过少量的非零系数来表示，然而实际中许多信号可能只在某些特定的基上稀疏，而在其他基上则表现出较高的能量集中，这导致传统方法的性能下降。此外，现实世界中的噪声、测量误差以及未知的信号结构进一步加剧了信号重建的难度。
深度学习压缩感知技术在信号处理领域展现出巨大潜力，通过端到端学习提高了重构质量和速度，能自动优化整个过程，捕捉非线性特征，适应高维和复杂数据。未来研究应重点解决自然信号的稀疏化问题，探索高效稀疏编码方法，减少计算复杂度，设计轻量级模型以提高重构速度并适应资源受限设备。此外，通过数据增强和硬件加速，减少训练数据依赖，优化硬件需求。提高模型泛化能力和跨领域适应性，探索通用模型结构和训练方法，将进一步扩展其应用范围。
动态压缩感知（DCS）是传统压缩感知理论在动态信号处理领域的扩展相比于传统压缩感知，动态压缩感知在理论、算法和应用方面都有一系列的创新和特点，在信号处理领域展示出巨大潜力。通过状态方程建模动态信号，结合时间相关性的测量矩阵满足动态RIP准则，DCS显著提高了信号重构精度和效率。其稀疏重构算法利用时间维度信息，实现精确恢复，适应实时处理要求。未来研究应聚焦动态信号的稀疏表示、非线性测量过程和自适应压缩测量，进一步提升DCS在高效信号处理中的应用潜力。
多模态压缩感知（MCS）通过结合多种模态数据提升信号处理效率和重建质量，展现出巨大潜力。未来研究将重点改进稀疏表示和观测矩阵设计，以更好地捕捉多模态数据的相关性。深度物理引导展开方法结合模型驱动和数据驱动技术，显示出高精度和可解释性，值得进一步探索。优化采样模式和开发新型自编码器技术将显著提升重建质量。MCS在医学影像、无线传感器网络和环境监测等领域的应用前景广阔，未来研究将推动其在这些领域的应用和发展。
未来的压缩感知研究将优化采样策略，通过模型适应的傅里叶采样方法，减少测量数量并提高重建精度。研究将采用非均匀随机采样分布，优化采样以最小化测量需求，特别适用于与傅里叶频率高度相干的自然信号。智能采样策略将显著减少数据获取成本和计算负担，同时提高重建质量。未来研究将开发基于深度学习或强化学习的自适应采样方法，根据场景需求动态调整采样。此外，结合先验信息和信号结构指导采样过程，将进一步优化感知矩阵设计。这些进展将推动压缩感知技术在医学成像、无线通信和物联网等领域的应用。
Gradient descent with sparsification: An iterative algorithm for sparse recovery with restricted isometry property.IBM.2024-06-15