更新时间：2024-09-20 11:08
序理论是数学的一个分支，主要研究捕获数学排序的直觉概念的各种二元关系。序是从数的大小、集合的包含等关系中抽象出来的概念。其中偏序关系和全序关系、二元关系、哈斯图属于序理论中最基本的概念。在序理论中还包含一些特殊的序类型，如全序和格等。
序理论中包含一些重要的定理，如序扩张定理、Hausdorff极大原理、Zorn引理、良序定理等。序理论可以用于数学学科中的集合论、拓扑学和数学分析等，还可用于经济学和信息学等其他学科中。
序是现代数学中的一个基本概念，20世纪30年代法国年轻的数学家们创立了以推崇结构主义而著称的布尔巴基学派，认为全部数学基于三种母结构，即代数结构、序结构和拓扑结构。其中对序作了精确论述。数学中序或序数是对日常生活中第一、第二等表示次序的数的推广；而序又是建立在偏序、全序、良序基础上的。数学上认为，系统内部最基本的关系是二元关系（数学上用映射来表示），系统内部的序结构是以一元为基础的，次序是二元关系中一个非常重要的类型。
序，又称为序关系，是从数的大小、集合的包含等关系中抽象出来的概念。为了研究序关系的性质和作用，产生了偏序集和格的理论。在1847年和1854年，布尔（Boole,G.）首次提出了布尔代数的概念，用于研究思维规律（逻辑学、数理逻辑）。到了19世纪末期，皮尔斯（Peirce,计算机科学）和施罗德（Schröder,F.W.K.E.）在对布尔代数的公理化研究中，创造性地引入了格的概念。同时，戴德金（Dedekind,J.W.R.）在研究代数数的理想时，也独立地给出了格的公理化定义，并对格的概念进行了深入研究，还引入了分配格的弱形式，即模格的概念。尽管这些科学家和亨廷顿（Huntington,E.V.）的一些早期结果具有重要意义，但当时并未引起数学界的足够重视。直到20世纪30年代中期，伯克霍夫（Birkhoff,G.D.）的工作开启了格论的全面发展。他与格里文克(Glivenko,V.）、门杰（Menger,K.）、约翰·冯·诺依曼（von Neumann,J.）、奥尔（Ore,O.）、斯通（Stone,M.H.）等人在这一新领域的一系列文章引起了数学界的广泛关注。
偏序关系，用于描述集合元素间部分排序关系的一种二元关系；设是一个集合，如果上的一个关系满足自反性（对任意实数，有成立）、反对称性（对任意，若且，则必有，）和可传递性（对任意，若， ，则必有），则称是上的一个偏序关系，并把它记为，这时称（，）为偏序集，偏序集用序偶(，)表示。在一个偏序关系中，每个元素都是可比的，则称为全序关系；即有一个集合，若集合是一条链（即集合的一个子集中任何两个元素都相关），则偏序集(，)称为全序集，在这种情况下，二元关系“”称为全序关系。在全序关系中，良序关系是其一种特殊情况，每个良序集(，)都是全序集，但全序集不一定是良序集；在一个全序集合中，如果对任意的非空子集都能在其序下找到最小元素，那么这个全序关系就被称为良序关系。
设是两个非空集合，，称是从到的二元关系；若，称为上二元关系。
哈斯图用来表示有限偏序集，偏序集的基数称为的阶，记为；若有限，则称为有限偏序集。用○表示有限偏序集的元素，若，则把表示的○放在表示的○上方；若，则用直线段连结表示的○及表示的○，这样得到的图称为偏序集的示图，两个有限偏序集同构、对偶都可从图上看出。
全序集中的关系称为全序或线性序，全序集（线性序集或链）是一类重要的偏序集。若偏序集适合如下公理：若对任意三式中有且仅有一式成立，则称为全序集。若偏序集的子集作为子偏序集是全序集，则称是中的链;若是非序的，则称为的反链。实数集及其任何子集在通常的关系下是全序集。
格是一种特殊的偏序集，它要求集合中的任意两个元素都存在上确界和下确界。而布尔代数定义为具有最大元和最小元的有余(有补)的分配格，是一种特殊的格，也是一种代数结构，用于处理逻辑运算和集合运算。布尔代数最初由英国数学家乔治·布尔提出，用于研究思维规律和逻辑运算。
序数被定义为良序集的类型。如：集合0，1，2…8中9是一个序数。序数有三类：零、后继序数、极限序数。对任何一个良序A，必有一个，而且仅有一个a使A与a序同构，此时称a为A的序数。任何两个具有相同序数的良序集，必定同构，这就是说序数是同构良序集的共同特征。
半模偏序集是一类特殊的偏序集。在一个含最小元的有限长偏序集中，若对于任意，当覆盖时，若存在使得和都覆盖，则存在使之覆盖和，那么称为（上）半模偏序集。对偶地，可以定义下半模偏序集。若一个偏序集既是上半模的，又是下半模的，则称其为模偏序集。
序扩张定理，即任何偏序都可扩张为线序（全序）。这个定理在数学的许多领域都有应用，它提供了一种将连续映射从子空间扩张到整个空间的方法。
Hausdorff极大原理，即每个非空半序集都包含一个全序子集，就其具有全序性质而言，它是极大子集。
Zorn引理在数学中占有重要地位，也被称为Kuratowski-Zorn引理，该引理是由Kuratowski（库拉托夫斯基）在1922年首先发现的，随后，Zorn在1935年亦独立地发现了此结论。Zorn引理即在任何非空的偏序集中，如果每个链（即任意非空全序的子集）都有下界，那么该偏序集必定包含一个极小元素，或在任何非空的偏序集中，如果每个链（即任意非空全序的子集）都有上界，那么该偏序集必定包含一个极大元素。
良序定理是集合论中的一个重要定理，即任一集合都能赋予一个先后次序，使之成为良序集。良序定理在1904年被Zermelo提出的选择公理证明。良序定理的证明依赖于选择公理，选择公理称，对于任何非空集合的集合，都存在一个选择函数，可以从每个非空集合中选择一个元素。
Dilworth定理，即对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目，是序理论中的一个重要定理。
序理论为集合论提供了丰富的工具和概念，如偏序集、全序集、良序集等。这些概念在集合的排序、分类和组织方面起着重要作用。例如，良序定理表明任何集合都可以被良序排序，这为解决一些存在性问题提供了有力工具。序理论在拓扑学中也有重要应用。例如，序拓扑是通过全序集上的开射线来定义的，它为研究实数线和其他有序空间的拓扑性质提供了基础。此外，序理论中的一些概念，如连通性、紧性等，在拓扑学中也有对应的概念和性质。同时在数学分析中，序理论的某些概念为其提供基础，如分析学中的半序线性空间是一类赋有序关系的线性空间，称为有序线性空间。在考察实值函数时，除了有线性结构、拓扑结构以外，还有个按照自然的序。
经济领域：意大利资产阶级经济学家维尔弗里多·帕累托(148-1923年)在1896--1897年出版的《政治经济学讲义》中提出序数论。他认为边际效用不是数量概念，而是次序概念。认为不能用基数1、2、3……来表示边际效用绝对值的大小，只能用序数第一、第二、第三……来表示边际水平的高低。
序理论中的偏序关系可以用来描述访问类集合之间的支配关系，在BLP安全模型中定义了一种访问类结构，该结构由访问类集合与各访问类之间的关系组成。每个访问类包括一个敏感级与一个信息类，访问类集合实际上是由敏感级集合与信息类集合的乘积形成的；访问类之间的关系定义为就被偏序关系。