换元积分法（Integration By Substitution），又称变数变换法，是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

定义

换元积分法是求积分的一种方法。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

在计算函数偏导数时，复合函数的链式法则是最常用的法则，把它反过来求不定积分，就是引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种，第一类换元积分法和第二类换元积分法。

两种方法

第一类

第一类换元法，也称为凑导数法，推导过程如下：

设 在 上有定义，在 上可导，且， ，并记， 。

若 在 上存在原函数，则 在 上也存在原函数， ，即

在使用时，也可把它写成如下简便形式：使用这种方法的关键在于将 凑成，以及 的原函数容易获得，下面通过一个例子来讲解：

求

解：

第二类

设 在 上有定义，在 上可导，且， ，并记， 。

若， ，则当 在 上存在原函数 时，在 上也存在原函数，且，即

(其中 是 的反函数)

此时观察这两类换元法的定理公式，发现它们是互相可逆的。

例子

计算积分。

其中换元为后，亦变为，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是x的取值范围，而不是的取值范围。

参考资料