更新时间：2023-11-17 16:35
整环（英文：integral domain），是有单位元1(≠0)的无零因子的交换环，如整数环、域上的多项式环等都是整环。
环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金（Dedekind）、哈密顿（Hamilton）等人对超复数系的建立和研究。在19世纪之前，高次互反律一直占据着数论的核心，其中关键的是唯一因子分解问题。卡尔·弗里德里希·高斯（英语：Carl Friedrich Gauss,1777~1855）在1829和1831年的两篇文章中阐述了双二次互反律，随后在1832年，高斯为解决四次互反律问题，引进了高斯整数（或复整数），由全部高斯整数构成的集合是高斯整环。之后，二次代数整数环和分圆整数环相继出现。1844年，库默尔（Kummer）在高斯等人研究工作的基础上，引进理想数的概念，实现了唯一因子分解，解决了高次互反律的问题。1871年，戴德金引进理想，理想成为一种集合和计算对象，是代数整数环中的特殊的子环。在环论发展过程中，较为重要的是代数数域和代数函数域中的整数环以及多项式环，数学家艾米·诺特（Emmy Noether）在1921年发表的论文《环中的理想论》（Idealtheorie in Ringbereichen）中将唯一因子分解理论从多项式环、代数数域以及代数函数域的整环扩展并抽象，得出带有升链条件的抽象的交换环，称为诺特环。
整环具有一些基本性质，如任一除环必为整环，整环的子环必为整环，一个除环的任一子环是整环。常见的整环有多项式环、域、欧几里得整环、主理想整环和戴德金整环以及高斯整环等。与环的运算性质一样，整环满足对加法和乘法运算的封闭性，并且由它的整除性可推出相伴、不可约元和素元等概念。在离散数学中，粗糙集合理论可应用到环论上，推广得到粗糙整环及一些相关结论。整环在现实世界中具有广泛的应用价值，如在密码学中，应用整数环上的同态加密机制，能实现用一个弱的初始口令建立一个有捐助的、前向保密的会话密钥的过程。
定义：环是定义加法、乘法两个代数运算的非空集合，并且对于加法成一个尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Abel）群，的乘法满足结合律，以及乘法对加法的左、右分配律。
交换环的定义：若环中的减法定义为，且环中的乘法满足交换律，即，则称为交换环。
单位元的定义：环中如果有一个元素具有性质：，则称是的单位元（素），此时称是有单位元的环。在有单位元的环中，单位元素是唯一的，通常就记作。
零因子的定义：如果环中有元素，使得，则称环中的元素为一个左零因子（右零因子），左零因子和右零因子都简称为零因子。
如果环没有非平凡的零因子，则称为无零因子环，有单位元的无零因子的交换环称为整环。
环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金（Dedekind）、哈密顿（Hamilton）等人对超复数系的建立和研究。在19世纪之前，高次互反律一直占据着数论的核心，其中关键的是唯一因子分解问题。卡尔·弗里德里希·高斯（英语：Carl Friedrich Gauss,1777~1855）在1829和1831年的两篇文章中阐述了双二次互反律，随后在1832年，高斯为解决四次互反律问题，引进了高斯整数（或复整数），由全部高斯整数构成的集合是高斯整环。之后，二次代数整数环和分圆整数环相继出现。
1844年，库默尔（Kummer）在高斯等人研究工作的基础上，引进理想数的概念，实现了唯一因子分解，解决了高次互反律的问题。1871年，戴德金引进理想，理想成为一种集合和计算对象，是代数整数环中的特殊的子环，同时标志着理想理论的诞生。与此同时，克罗内克（L.Kronecker）把相当于代数整数环的集合称为序环，在其上建立了除子理论。在环论发展过程中，较为重要的是代数数域和代数函数域中的整数环以及二元和多元多项式环，数学家艾米·诺特（Emmy Noether）在1921年发表的论文《环中的理想论》（Idealtheorie in Ringbereichen）中将唯一因子分解理论从多项式环、代数数域以及代数函数域的整环扩展并抽象，得出带有升链条件的抽象的交换环，称为诺特环。
例1：由全体整数的集合对数的加法、乘法所构成的环——整数环，是一种整环。
例2：设代数集是一个不可约的多项式函数，是一个代数闭域，那么代数对象多项式函数环是一个整环。
例1：阶实矩阵环是有幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环；
例2：一般来说，对于模的整数环。若不是质数，则存在正整数，使得，则得到，即是的零因子，从而不是无零因子环，也不是整环。
定义：设是一个整环，如果有一个域使得从到有一个单的环同态，且中每个元素都可以表示成，即的形式，其中，那么把称为的分式域。
整环的分式域的唯一性：设是一个整环，则存在的分式域，并且在环同构的意义下，的分式域是唯一的。
整环的分式域构造方法：令集合，其中。在集合上规定一个二元关系：。由于，因此，从而具有反身性；若，则，于是，从而，因此具有对称性；若且，则，从而，于是。由于且是整环，因此即，于是，从而具有传递性。由此可知，是上的一个等价关系。把的等价类记做。于是，把商集记做，在中规定：。
容易证得上面式的规定与等价类的代表的选取无关，且是合理的。同时可验证，中的加法、乘法都满足交换律、结合律，并且适合乘法对于加法的分配律。由于，因此是的零元，记做。容易验证，的负元是。又由于，因此是可逆元，且。
由上述可知，是一个域，令，则是R到F的一个映射，且是单射。
由于，，因此σ是R到F的一个环同态.从而R与F的一个子环Imo环同构，其中。于是可以把与等同。
由此得出。
理想
设是一个环,是的一个非空子集，如果对于减法封闭，即并且具有“吸收性”，即则称是的一个理想或双边理想。如果对减法封闭，并具有“左（或右）吸收性”，即(或)，则称是的一个左（或右）理想。
主理想：设是环的一个非空子集，把的包含的所有理想的交集称为由生成的理想，记做。如果是有限集，那么称是有限生成的。环中由一个元素生成的理想称为主理想，记做。
1.任一除环必为整环，一个除环的任一子环是整环；
2.整环的子环必为整环。
环 有两个代数运算，一个叫做加法，记作另一个叫做乘法，记作。整环是一种环，其加法和乘法的具体运算法则可表示为：
1.加法结合律，即
2.加法交换律，即
3.乘法结合律，即
4.乘法对于加法的左、右分配律，即
整环的整除：设是整环，对于若存在使得则称整除记做否则称不能整除记做。当时，称是的一个因子，称是的一个倍元。
整除是上的一个二元关系，它具有反身性（因为对任意有所以)；此外，整除关系具有传递性，但是没有对称性。在整环中，当且仅当；
由整除关系可得出以下结论：
1.如果且，则叫做相伴，相伴具有对称性，和整除一样有反身性和传递性，因而是一个等价关系，记作；
2.设元素不是单位，不是零，若从恒推出或，则叫做一个不可约元；
3.设元素不是单位，不是零，若从恒推出或，则叫做一个素元。
4.设为一个整环，为的任意元素，则
(1)。因而，而且若但则但；反之也对。
(2)为素元为非零素理想。因此，若为非零极大理想，则为素元。
(3)素元是不可约元，因此，若为非零素理想，则为不可约元。
任一大于的整数能唯一地分解成有限个质数的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个这样的分解式
，则一定有，并且适当排列因子的次序后有。
该定理在整数的整除性理论中起着基本重要的作用，因此也被称为算数基本定理。
定义：设为一整环，如果满足下列两条件
1）的每个非零非单位的元素恒可写成有限多个不可约元素的积；
2）上述分解在相伴意义下是唯一的，即若元素有两种分解，则而且适当改换的角标可使；
则叫做一个唯一因子分解整环，也叫高斯整环。
整环与高斯整环的关系：
1.设整环满足条件：(1)因子链条件；(2)每个不可约元都是素元；则是一个高斯整环。
2.设整环满足条件：(1)中因子链条件；(2)中每一对元素都有最大公因子；则是一个高斯整环。
定理：一个高斯整环是主理想整环的充要条件是满足下列条件之一：
(1)元素的最大公因子恒可表成的组合；
(2)的每个不可约元生成的主理想为极大理想。
推论：主理想整环是高斯整环。
定义：设为整环，如果的每一个理想都是主理想，那么称是一个主理想整环。
主理想整环具有以下一些性质：
1.设为一个主理想整环，则有
1）若为不可约元，则为极大理想；
2）不可约元为素元；
3）每个非零素理想都是极大理想。
2.设为一个主理想整环，对于，若，则是的一个最大公因子，而且可表成。
推论：设为一个主理想整环，对于，若，则为的一个最大公因子而且可表成。
主理想整环与诺特环的关系：设是一个交换环，如果的每一条理想升链都有限，那么称满足理想升链条件，此时称是一个诺特环，主理想整环都是诺特环。
一元多项式环
设是有单位元的交换环，是上的未定元（或称是变量），上一切多项式的集合记为，规定的加法是同次项的系数相加、乘法是分配相乘，即其中对多项式的加法和乘法构成一个环，称为环上一元多项式环。
多元多项式环
数域上的元多项式组成的集合记作连同所定义的加法与乘法构成一个环，它的零元素是零多项式，它有单位元素，即零次多项式。它是交换环，称为数域上的元多项式环。
整环上的多项式环的性质：
1.若为一整环，则一元或多元多项式环也是整环，而且的单位群与的单位群相等；
2.设为一整环，，则在内最多有个不同的根；
定义：设是一个有单位元的交换环。如果对中任意非零元，关于乘法有逆元，即存在使，则称为一个域。
域和整环的关系：域是整环，有限整环必是一个域。
例 是整环也是域。
定义：设是一个交换环，则是一个戴德金整环当且仅当
(1)满足升链条件；
(2) 对的每一个非零理想满足降链条件，即由的理想（每个理想都包含一个确定的非零理想）构成的每个真降链是一个有限链；
(3)对于环的乘法，存在一个单位元；
(4)环里没有零因子；
(5)环在它的商域当中为整闭的。
定义：设表示的非零有限型的分式理想的集合，在其中定义乘法为：。若在这个乘法之下构成一个群，则称为一个。如果整环的每个理想是可逆的，则称为一个广义戴德金整环。
广义戴德金整环具备充要条件：设是广义最大公因子整环，则是广义戴德金整环当且仅当的每个理想是有限生成的。
定义：设为一个整环，如果存在的乘法半群到自然数系的一个函数，使得对于任一对元素，存在一对元素和满足，其中或，但，则叫做一个欧几里得整环。
性质：
1.欧几里得整环的每一个理想都是主理想。
.2.设为一整环，为一乘法幺半群，则的任一有限子群都是循环的。
粗糙集合理论（Rough Set Theory）又简称粗集。假定对全城里的元素（对象）具有必要的信息或知识，通过这些知识将其划分为不同的类。若对两个元素具有相同的信息，则它们是不可区分的，即根据已有的信息不能够将其划分开。不可区分关系是一种等价关系，是粗糙理论的基本概念。
定义：令，且是一个等价关系，当能用属性集确切地描述时，它可用某些基本集合的并来表达，称是可定义的，否则为不可定义的，不可定义集也称为非精确集或粗集。
定义：粗糙环称为粗糙整环，假如任意满足
(1)乘法适合交换律：；
(2)有粗糙单位元,；
(3)没有粗零因子，即若，则或。
由上述定义可得以下结论：
1.粗糙整环是可交换的有粗糙单位元的粗糙环；
2.粗糙除环是有粗糙单位元的无粗零因子的粗糙环；
3.是粗糙域当且仅当既是粗糙整环又是粗糙除环；
4.设与是两个粗糙同构的粗糙环，且粗糙同构映射满足，那么
(1)若是粗糙除环，则也是粗糙除环；
(2)若是粗糙域，则也是粗糙域；
(3)若是粗糙整环，则也是粗糙整环。
密码技术是进行保密通信的主要手段，因为所有的密码技术都依赖于密钥，所以密钥管理技术是保证安全性的关键点。在密钥管理的整个过程中，密钥分配与密钥协定有着特殊的意义。传统的密钥交换协议要么不能抵抗中间人攻击，要么需要数字证书或数字签名以抵抗中间人攻击，对于没有固定结构的无线网络来说是较为困难的。考虑到传统密钥协定的不足，基于口令认证的密钥协定协议，再应用整数环上的同态加密机制，可构造一种新的同态密钥协定，实现了用一个弱的初始口令建立一个有捐助的、前向保密的会话密钥的过程。
信息网络的不断发展为舰船通信信息传输过程带来了新的安全隐患，由于舰船通信信息加密时电路压缩和自举过程计算复杂，致使最终加密安全性不高。为此在大数据资源调度的前提下，有学者提出了一种舰船通信信息全同态的加密方法。通过设定一个整数环来降低加密过程的计算量，再控制信息字节流的加密过程，有效地改正了原有加密方法密钥过大、安全性低的不足，增强了舰船通信信息加密方法的性能。
在多媒体数据中，如何使用多媒体计算机技术去解决组织、压缩、存储和传输数据是一个重要问题。通常，采用合适的数据压缩算法和技术可以使数据量大大降低，使压缩的速度和精度大大提高。传统的基于离散余弦变换矩阵的正交变换（DCT）算法，它适合于信号带宽较窄的图像的压缩，当信号的带宽较宽时，若要求达到较高的压缩比，会使得误差较大，在恢复的图像上表现为边界效应。在变换过程中，还会对压缩精度产生一定的影响。
在对传统变换算法实现图像数据压缩技术的分析与评价的基础上，设计出一种以数论为理论基础的数论变换算法，数论变换是在以正整数为模的整数环上定义的线性正交变换，在上具有卷积特性。该算法可采用移位操作原理实现，有效地提高了数据压缩的速度和精度。
随着集成电路的规模变得越来越大、功能越来越复杂，功能验证已经成为设计流程的主要瓶颈。基于模拟的传统验证方法不仅会花费大量的时间，还不能保证完全的验证覆盖率，已经无法满足集成电路设计的要求。为此，有学者提出了一种基于有限环上的多项式的形式验证方法，有效地解决了算术密集型电路的设计验证问题，提高了验证效率。