在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说，满足某些约束条件的面积最小的曲面。物理学中，由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜，这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。

正文

从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分，曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h0。因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。

在三维欧氏空间中，若一张曲面可用方程来表示，则称它为图，或非参数化曲面。由极小条件中极小图的满足下述二阶非线性椭圆型微分方程：

通常称它为极小曲面方程。

中极小曲面的重要例子有：①极小的可展曲面是平面；②非平面的极小直纹面是正螺面；③悬链面是仅有的极小旋转曲面；④曲率线为平面曲线的极小曲面是恩纳佩尔极小曲面；⑤舍克尔极小曲面是极小的螺旋面，它可以看作具有实母曲线的平移极小曲面。一般地，中极小曲面的坐标可表示为等温参数（使曲面第一基本形式中的，的参数）的调和函数。中不存在紧致无边界的极小曲面。

历史上极小曲面的发展是环绕约瑟夫·普拉托问题而展开的，这实质上是一个非线性的椭圆型边值问题。早在1930～1931年，T.拉多和J.道格拉斯就各自独立地在广义解的范围内解决了这个问题，他们得到如下的存在性定理：给定任一可求长的空间若尔当闭曲线Γ，总存在一张以Γ为边界的广义极小曲面。这里可能有孤立的分支点，在分支点处曲面不是浸入。直到1970年，R.奥斯曼才证明了拉多和道格拉斯的解是处处内部正则的，即不会有分支点。后来丘成桐等又解决了何时浸入化为嵌入的问题。

除了这类存在性问题外，还有不少属于惟一性方面的问题，其中最著名的是伯恩斯坦定理：中完备的极小图必是平面。

正如用导数来确定函数的极值一样，面积泛函的第一变分为零只是面积最小的必要条件，要进一步确定最小面积的曲面，还必须考虑第二变分。在任何法向变分下，使面积泛函的第二变分恒非负的极小曲面称为稳定极小曲面。中极小图是稳定的。因此，从伯恩斯坦定理自然产生这样的猜想：中完备的稳定极小曲面是平面。这个命题已被D.菲舍尔-科尔布里和 R.舍恩所证明，稍后，M.杜卡莫和彭家贵一起也独立地予以证明。

对于伯恩斯坦定理在高维空间的推广，人们很早就提出这样的问题：设是的完备极小超曲面，那么函数是否必是线性的？1965年，E.迪乔吉证明是对的；1966年,F.J.阿姆格伦证明也是对的。1967年，J.西蒙斯证明当 时，都是对的。出乎意料的是，E.邦别里、E.迪乔吉和E.朱斯蒂在1968年联合证得,时，就是不对的。因此，这是一个十分有趣的问题。

关于极小曲面及其在高维流形的推广，陈省身、项武义、丘成桐等都作出了重要贡献。

参考书目

R. Osserman,A Survey of MiniMal Surfaces,Van Nos-trand-Reinhold, New York, 1969.

参考资料