泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程，泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。

简介

一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。用数学语言说，满足下列三条件的随机过程叫做泊松过程。①。②不相交区间上增量相互独立，即对一切相互独立。③增量的概率分布为泊松分布,即，式中为非降非负函数。若X还满足④的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时，式中常数称为过程的强度，因为λ等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左(或右)连续阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段内产生故障的次数，一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.亚历山大·辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

齐次泊松过程的特征 　描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。一个简单而且局部有限的计数过程，往往也可以用它依次发生跳跃(即发生随机事件)的时刻来规定，即取而当时，。若以，表示X(t)发生相邻两次跳跃的时间间距，则计数过程是齐次泊松过程的充分必要条件为是相互独立同分布的，且，其中λ为某一非负常数。齐次泊松过程的另一个特征是：固定t,X(t)是参数为λt的泊松分布随机变量，而当已知的条件下,X的k个跳跃时刻与 k个在上均匀分布且相互独立的随机变量的次序统计量（见统计量）有相同的分布。泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。从马尔可夫过程来看，齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。从鞅来看，齐次泊松过程X是使为鞅的跃度为1的计数过程。

泊松过程的推广 　较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的累计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维点过程。假如某设备在时段内故障的累计次数N(t)是泊松过程，而每次故障造成的耗损不尽相同，用随机变量Yi表示第i次耗损，则在内总的耗损为。当为齐次泊松过程，又是相互独立同分布且与独立时,称为复合泊松过程。由于可以用其跳跃时刻来规定,因而复合泊松过程可用来规定，即。若对的统计特性不作任何假定，这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。

泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外，又是众多重要随机过程的特例。独立增量过程的莱维伊藤分解表明，利用它还可构成一般的独立增量过程，因而它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的基石。

参考书目

E. Parzen,Stochastic Processes,Holden-Day,lnc., San Francisco, Calif., 1962.

D.L.斯奈德著，梁之舜、邓永录译:《随机点过程》，人民教育出版社，北京市，1982。(迪朗奇Snyder,Random Point Processes,John Wiley \u0026 Sons,New York,1975.)

伊藤清著，刘璋温译：《随机过程》，上海市科学技术出版社，上海，1962。（伊藤清著：《確率？波書店，東京,1958。）

参考资料