更新时间：2023-11-16 13:44
满射（surjection）也称到上映射，指陪域与值域相等的映射，当时的映射。
康托尔在1874年提出了集合的定义，此后进一步定义了集合的子集、交集、并集、映射等一系列概念。1954年，法国数学团体尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）的《数学原本卷一：集合论》中首次提到了单射、满射、双射的概念（injection、surjection、bijection）。既是单射又是满射的映射称为双射。
满射具有很多性质，如是满射的充分必要条件是对任何。数学中有很多函数具有满射性，证明一个映射是满射的一般方法是从映止集合中任取一元素，设法构造出映始集合的一个元素，使。满射函数在数学、密码学、实际生活中有很多实例，如线性变换、认证码、快递配送等。
集合（set）也称集，是一个不加定义的原始概念。通俗地说，集合是将一些对象放在一起作为一个整体来考虑，组成集合的对象称为这个集合的元素或简称元。若是集合的元素，则称属于，记为。若不是的元素，记为。当某一集合的元素为时，可写作，称集合A由元素（对象）聚合而成。由所有具有某一性质的对象聚合而成的集合，通常记为或。
设、是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，那么称为从到的映射，记作，其中称为元素（在映射下）的像 ，并记作，即 ，元素称为元素（在映射下）的一个原像。
在映射中，始集()称为映射的定义域，记为或；终集()称为映射的陪域，记为或； 称为映射的值域，记为或。
映射又称算子。根据集合的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。例如，从非空集到数集的映射又称为上的泛函，从非空集到它自身的映射又称为上的变换，从实数集（或其子集）到实数集的映射通常称为定义在上的函数。
满射也称到上映射，指陪域与值域相等的映射，当时的映射。
单射也称双射。映射对任何均有，即对于的值域中的任一元素，。单射不必是满射。
双射也称满单射、一一对应、到上的一一映射等，指同时是单射和满射的映射。
单射：对于映射的值域中每个像元素，都唯一存在自己的原像。
满射：集合中的每个元素都存在原像。
双射：集合中的每个元素都唯一存在自己的原像。
集合的思想可以追溯到古希腊的原子论学派，他们把直线看成一些原子的排列。19世纪初，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。1870年格奥尔格·康托尔应朋友海涅邀请开始研究函数的三角级数表示的唯一性问题。他在1871年至1872年的论文中逐步把三角级数展开的唯一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况，把函数间断点问题的研究过渡到对点集本身的研究，明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由实数构成的更复杂的集合。1873年12月7日，康托尔在给戴德金中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。康托尔在1874年提出了集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”这里用汇集来定义集合是同义语反复。之后人们认识到集合是一个原始的概念，不能用其他概念来定义，而只能加以描述或说明。在集合概念产生后，进一步定义了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。
1954年，法国数学团体尼古拉·布尔巴基（法语：Nicholas Bourbaki）的《数学原本卷一：集合论》（法语：Théorie des ensembles，Éléments de 数学ématique Première Partie）中首次提到了单射、满射、双射的概念（injection、surjection、bijection）。在此之前，学术界同概念使用的词是一对一关系、到上、一对一到上（one-to-one、 onto、one-to-one onto），布尔巴基对术语进行了标准化并得到了广泛认可，最终形成了如今的数学名词。
满射有下列性质：
1.是满射的充分必要条件是对任何。
2.若，均为满射，则也是满射。
证明 对于任意的，因为是满射，必存在，使得。而对于，因为是满射，必存在，使得。于是有：。因此是满射。
3.对，均为满射，若是满射，则是满射，并且。
证明 对于任意的，是满射，则存在，使得，即。因此，有，使得，因此，是满射。
4.满射有右逆映射，对满射可以定义，使是集合上的恒等映射。这只要对任何，在的全原象中指定一个元素为.当满射不是单射时，这样的右逆映射不只一个。
5.在映射下，是满射。
6.若是满射，则对任何，有。若不是满射，则存在，使。
在数学函数论中，证明一个映射是满射的一般方法是：从映止集合中任取一元素，设法构造出映始集合的一个元素，使。
例1 设是实数集，是正实数集，证明映射是满射。
证明 任取 则是正实数，即。令，则
例2 设表示区间 ，表示区间。证明映射是满射。
证明 任取，则，于是，，即，
令，则。
即任取，总存在,使。所以是满射。
在代数中，也有满射性的证明。
例3
向量空间 设是一个非空集合，是一个域。在上定义了一个代数运算：，叫做加法，把称为与的和，记作。在与之间定义了一个运算，即到的一个映射：，叫做纯量乘法（当为数域时，也叫数量乘法），把称为与的纯量乘积（当为数域时，也叫数量乘积），记作。如果加法和数量乘法满足下述8条运算法则：对任意的，任意的，有
1° （加法交换律）；
2° （加法结合律）；
3° 中有一个元素，记作0，它使得，具有这个性质的元素0称为的零元素；
4° 对于，存在，使得，具有这个性质的元素称为的负元素；
5° ；
6° ；
7° ；
8° ，
则称是域上的一个向量空间。
同构映射 设和都是域上的线性空间，如果有到的一个双射，使得对于任意，有，，那么称是到的一个同构映射（简称为同构）。如果到有一个同构映射，则称和是同构的，记作。
同构映射是满射。设是上的维向量空间，是 的一个基，的每一个向量都可由唯一表示成因此，在这个基下，任一向量都对应其唯一的坐标，记为，则是从到的满射。
证明 对中任一向量对应唯一的向量，因此是从到的满射。
在不同的数学学科分支中，满射具有不同的名称。在函数论中，一个函数如果既是满射又是单射，那么它就是一个双射函数，也称为可逆函数。可逆函数在数学和工程中有广泛的应用，可用来求原像、极值点等。在线性代数中，满射函数通常与线性变换相关联。对于一个线性变换，如果它是满射的，目标空间中的向量或矩阵都有原像。这在向量空间和矩阵理论的研究中具有重要的应用。如果两个线性空间上的映射是满射，这时的线性映射称为满同态。在数值分析中，满射函数可以用来进行函数逼近。通过构造满射函数，可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的函数。
利用具有满射性质的散列函数可以用来分配内存地址，迅速检索服务器上的记录。
在学生档案库场景中，用散列函数分配机房服务器的内存地址可以迅速检索到学生记录。可用散列函数，其中是可供使用的内存地址的数目。散列函数将内存地址分配给以为关键码的记录。每个关键码唯一地标识一个学生记录，可用学生的学号作为关键码。
例如当，因为，则20050724068为学号的学生的记录分配到的地址是85。由于散列函数不是一对一的，可能有多个记录分配到同一个同一个内存地址，引起冲突。消除冲突的办法是使用散列函数已被占用的地址后面第一个未使用的地址。如分配学号为20050744048的学生记录，由于，会把这一学号映射到地址85，但此时85已被学号为20050724068的学生占用，因此学号为20050744048的学生应映射到地址86。
现代密码学的认证技术是防止第三方主动攻击的有效手段。认证的主要目的，一是验证信息发送者的身份，二是验证信息的完整性。其中认证码的设计利用了满射的概念。以下是认证码的数学定义。
设，与M为非空有限集，为满射，若以下条件满足：
(i)对与,若存在使，则由和唯一确定；
(ii)
则称序组为一个以和为参数的认证码，并记作AC。集合称为源状态空间，称为编码规则集或密钥空间，称为消息空间，称为编码函数或认证函数。
假定发信者与收信者实现随机选取一个编码规则，当发信者打算向收信者发送原状态时，他首先求出消息，然后将发送给收信者。由上述认证函数定义中的条件(i)，收信者可以根据编码规则来检验所收到消息的真实性。为说明认证码的认证作用，对，令，叫做编码规则的合法消息集，它是的一个子集。当收信者收到一个消息时，先检查是否存在的合法消息集中。若，则将作为经过认证的消息予以接收，并由求出唯一的原状态。而若如，则确认此消息已被篡改为拒绝接收。不同的编码规则通常具有不同的合法消息集。因此，为减少第三方攻击成功的概率，应经常更换所使用的编码规则。