算术几何（arithmetic geometry）是代数几何的一个分支，主要研究代数簇的有理点，即多项式方程组在代数数域、有限域、P进数或函数域上的解集。它涉及从代数几何到数论问题的技术应用，并且在处理整数环的谱内的有限概形方案方面有其独特的定义和方法。

基本介绍

算术几何最初是指从法尔廷斯（Faltings, G.）、奎林（Quillen, D.G.）等人关于算术曲面上黎曼-罗赫定理的研究工作开始的一系列研究。现在，它通常指的是所有以数论为背景或目的的代数几何研究。算术几何中的经典对象是有理点，这些点可以通过高度函数来衡量其算术复杂性。随着代数几何的现代抽象发展，非代数闭域上定义的代数簇的结构已成为研究的中心。在有限域上，平展上同调（Étale cohomology）提供了与代数簇相关的拓扑不变量，而霍奇理论则提供了工具来检查复数上的上同调性质何时扩展到P进数上的上同调性质。

在算术几何中，许多学科起着重要作用，并且相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、伯恩哈德·黎曼面、K理论等。因此，算术几何是一个典型的边缘学科。丢番图方程是算术几何的一个重要课题，其中的问题可以自然地用几何语言表达。在许多著名问题，如莫德尔猜想、费马大定理等的研究中，都表明了几何方法的必要性。这正是算术几何的生命力所在。

参考资料