更新时间：2024-09-20 12:32
霍奇理论是19世纪德国数学家（G.F.）B.伯恩哈德·黎曼利用狄利克雷原理，将单复变量的代数函数及其积分，和一系列函数类的存在，建立在黎曼球面的拓扑和势的构造上。
关于调和微分形式的理论。
19世纪德国数学家（G.F.）B.黎曼利用狄利克雷原理，将单复变量的代数函数及其积分，和一系列函数类的存在，建立在黎曼曲面的拓扑和势的构造上。这门学问推广到高维流形时，霍奇理论进一步揭示了分析与拓扑之间的深刻联系，给当代流形上分析的整体研究以巨大影响。这个理论为英国数学家威廉·霍奇首创于30年代，而后为小平邦彦等数学家大大发展与应用。
设M为n维黎曼流形，在局部坐标系(x1,x2,…,xn)中，度量张量表示成。记矩阵G =(gij),G-1=(gjk),g =detG。M上的任一r阶C∞微分形式φ在该坐标系中可表示成φ= 其中系数均是C∞函数且关于下指标反对称。M上的这种r阶形式全体记为Er。设ψ∈Er,令
，
定义
在Er上定义外微分映射d如下：对于函数ƒ∈E0,dƒ=；对于。令δ:为d关于上述内积的形式共轭算子，即对于ω∈Er+1,在φ,ω 二者之一有紧支集时成立(dφ,ω)＝ (φ,δω)。定义 Δ: Er→Er为，称它是M上的皮埃尔-西蒙·拉普拉斯欧金尼奥·贝尔特拉米映射。在M是欧氏空间，r=0的情形，Δ即为普通的拉普拉斯算子。
利用线性算子*:Er→Enn-r(*算子或霍奇算子)可将δ,从而Δ明确地局部表示出来。算子*满足条件。在局部坐标系中，它可写成
这里是指标(j1…jrk1…kn-r)的置换符号，,这里I为恒同映射,(*φ,*ψ)=(φ,ψ)。利用这些性质可以推出。上述这些算子尚有下列关系：，。
满足方程dφ=0的φ称为闭微分形式。若存在α,使φ＝dα, 则φ称为正合微分形式。由于d2=0,正合形式必是闭的。若dφ=0,δφ=0同时成立，称φ为调和微分形式。德·拉姆定理指出，德拉姆上同调群{闭的r阶C∞微分形式}/{正合的r阶C∞微分形式}与实系数的r 阶奇异上同调群同构，而霍奇理论即要表明在每个上同调类中是否存在调和的微分形式。
紧黎曼流形 设M是紧的黎曼流形，则Δφ=0意味着φ调和，因为(Δφ，φ)＝(dφ，dφ)+(δφ，δφ)，从而dφ=0,δφ＝0。记lr为Er按上述范数完备化的希尔伯特空间，那么d,δ,Δ均可扩充定义到整个lr上。这时δ为d的共轭算子，Δ为自共轭的椭圆型算子。对于Δφ＝α的任一弱解φ，在α是C∞微分形式时,φ也是C∞的。因此任一调和微分形式均是C∞光滑的。以Hr记M的 r阶调和微分形式全体，P:lr→Hr为射影算子，那么霍奇理论的中心结果为下述分解：
①lr=Δ(lr)Hr=d(lr_1)δ(lr+1)Hr。
易知对任一α∈Δ(lr),Δφ =α在Δ(lr)中的解惟一。
② 存在格林算子G:lr→Δ(lr)，Gα=φ，对β∈Hr,Gβ=0。
由定义，GP=PG=0, P+ΔG =I，Gd=dG，Gδ=δG，于是对每个φ∈lr,dφ =0者, 由①得φ=dδGφ +Pφ。它表明调和形式Pφ与φ在同一个德拉姆上同调类内，且是这个类中风惟一的调和形式。
③ 实系数的r阶奇异上同调群与 r阶调和形式空间Hr同构。
④ Hr为有限维向量空间。若记hr=dimHr,ⅹ(M)为M的欧拉示性数，则ⅹ(M)=∑(-1)rhr。
如果考虑带有某种奇性的微分形式所构成的希尔伯特空间时，就得到黎曼球面上第二、三类尼尔斯·亨利克·阿贝尔微分的推广。
全纯向量丛 设π：E →M是秩为l的全纯向量丛。M是紧的复m 维埃尔米特流形。令A(p,q)(E)为系数在E 中的C∞(p，q)形式全体。{Tjk}是定义在M的坐标覆盖{Uj}上能确定E的转移函数矩阵。这时 φ∈A(p,q)(E)在Uj上表示成这里在Uj ∩Uk上成立 这里 是矩阵Tjk的元素，均是全纯函数。定义。因为，所以这个定义不依赖局部坐标的选取。
E 的纤维上的埃尔米特形式是由每个Uj上给出一个正定形式确定的。以hj记矩阵(),那么应满足条件。设M上的埃尔米特度量在Uj上表示为,在A(p,q)(E)内引入点积如下：对于φ,ψ∈Ap,q(E)，记。这里然后内积与范数分别为
令为关于上述内积的共轭映射，作E值(p，q)形式φ称为扺闭的，如果扺φ=0,称为扺 正合。如果存在α∈Ap,q_1(E)使φ=扺α,且□φ=0,称φ为调和的E值(p,q)形式。它等价于扺φ=0, 扺*φ=0同时成立，记其全体为Hp,q。令lp,q为Ap,q(E)按上述范数的完备化，它到Hp,q的正交射影仍记为P，那么成立：
② 存在格林算子G:lp,q→□(lp,q),在□(lp,q)上一一。Gφ=0，φ∈Hp,q。□G+P=I。
③ 若φ为闭形式，则Pφ与φ在同一个多博尔特上同调类即/{扺-正合的E值(p,q)形式}。
④Hp,q为有限维向量空间。
凯勒流形 设M为紧的凯勒流形，它的凯勒度量为。将它看做M上的埃尔米特度量，考虑M上的平凡线丛E=M×C及C上的欧氏度量。按上面的构造方法有对应的映射□。另一方面作为M上的黎曼度量有对应的算子Δ 。在凯勒条件下成立Δ=2□。因此除了前面的一些结论外，尚有
若记，则x(M)=。一个简单的推论即为凯勒流形的第奇数个贝蒂数为偶数。
当M是非紧流形时，对于不同的微分形式所构成的希尔伯特空间有相应的空间分解。当M为某个流形上有边界的区域时，将导致各类纽曼问题。特别地, 当M是复流形中有光滑边界的区域时，产生著名的扺-纽曼问题，它对于多复变函数论、超定微分方程组、拟微分算子等学科的发展起了重大作用（见多复变函数论）。
由霍奇理论可知底流形的拓扑影响着调和形式的存在与否，存在多少；反过来，由流形的度量往往能够知道调和形式的存在与否，从而产生了许多上同调群的消隐定理。
参考书目
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