约化群(reduced group)是计算与研究K0群的一个工具。对任一环R总有惟一的环同态f：Z→R，这里的Z为整数环。f诱导出群同态K0(f)：Ko(Z)→Ko(R)，称K~o(R)≡Ko(R)/Im Ko(f)=coker Ko(f)为R的约化群。Im Ko(f)=Z·[R]是[R]在Ko(R)中生成的循环群。

群与群同态、环与环同态都是数学中代数论中的重要概念。

概念介绍

约化群(reduced group)是计算与研究K群的一个工具。对任一环R总有惟一的环同态f：Z→R，这里的Z为整数环。f诱导出群同态K(f)：K(Z)→K(R)，称K~(R)≡K(R)/Im K(f)=coker K(f)为R的约化群。Im K(f)=Z·[R]是[R]在K(R)中生成的循环群。若R为交换环且一切有限生成投射R模都是自由的，则K~(R)=0(例如，当R为PID时).对一般的交换环R，则有：

群与群同态

群

设G是一个非空集合，G上有一个叫做乘法的代数运算，即有一个G×G到G的映射，对a，b∈G，(a，b) 在这个映射之下的象记作ab，如果以下条件被满足，则称G是一个群： (1) 对于任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)对任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。设G是一个群，存在唯一的元素e∈G使得对任意的a∈G，ea=ae=a，e称为G的单位元。对任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a称为a的逆元。一个群的元素个数如果是有限的，则称这个群是有限群，否则，这个群称为无限群。有限群的元素个数称为这个群的阶。对于群G的元素a，使得a=e的最小正整数m称为a的阶，这里a表示m个a相乘的积，如果不存在这样的正整数m，则称a是无限阶的。

设G，G是两个群，是G到G的一个映射，如果对任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ是群G到G的同态。群G到G的同态φ如果是单射(满射)，则称φ是单同态(满同态)，如果φ还是个一一映射，则称是一个同构，而且称群G与G是同构的，记作G≌G。如果一个非空集合A到自身的一些一一映射在映射的复合运算下作成一个群，这种群称为变换群。凯莱定理指出，每个群都与一个变换群同构。有限集合到自身的一一映射称为置换，n个元素的集合的全体置换做成的群称为n次对称群，记作S。设G是一个群，a∈G，规定对于正整数m，(a-1)=a，a=e，则对任何整数n，a有意义。设G是一个群，如果存在a∈G，使得G={a|n为整数}，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的一个生成元。设G=(a)，如果a的阶无限，则G与全体整数在加法运算之下做成的群同构。如果a的阶为正整数n，则G与模n的剩余类在加法运算之下做成的群同构。设G是一个群，H是G的子集，如果H对于G的运算也做成一个群，则称H是G的一个子群。设H是群G的一个子群，对任意的a∈G，定义aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分别称为子群H的一个左陪集和右陪集。若G是有限群，则H的左、右陪集的个数都等于|G|/|H|。从而有限群G中每个元素的阶都是G的阶的因子。设H是群G的子群，如果对任意的a∈G，aH=Ha，则称H是G的正规子群，或不变子群。设H是G的一个正规子群，H的左陪集全体记作G/H，对任意的aH，bH ∈ G/H，定义 (aH) (bH) = (ab) H，则G/H也做成一个群，这个群称为G的一个商群，映射π： G→G/H，a→aH，是一个满同态。设φ是群G到群G的同态，Kerφ= {a∈G|φ(a)=e}称为φ的核。φ(G)={φ(a)|a∈G1} 称为的象，Ker是G的正规子群，(G)是G的子群，并且(G)≌G/Kerφ。

群同态

群同态是类似于群、拓扑群中相应的概念。李群到李群的同态映射。若ρ为李群G到李群G内的普通群同态，且为连续映射，则称ρ为G到G内的李群的同态。若李群G到G上之李群同态ρ为一一对应，则称ρ为李群的同构，这时ρ为G到G上之李群的同构。李群的同构为解析映射，且同态像ρ(G)为G中李子群，同态核ker(ρ)为G中闭正规子群。若ρ为G到G上的李群的同态，记π为G到G/ker(ρ)上的自然映射，则π仍为李群的到上的同态，且存在李群G/ker(ρ)到李群G上之李群的同构σ使得右图为交换图，即ρ=σ·π.这就是李群的同态基本定理。设ρ为李群G到G内的同态，记J及J分别为G及G的李代数，于是ρ的导数dρ为J到J内之李代数的同态，且有重要公式：

ρ(exp X)=expdρ(X)，任意X∈J.

所以李群的同态诱导了李代数的同态。反之，若李群G的李代数为J，i=1，2，且存在J到J上之同态σ，一般来说，不一定存在李群G到G上之同态ρ，使得dρ=σ，只有当G为连通且单连通李群时，才必定存在。

环与环同态

环

对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集：

A=U(a，b]

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

环同态

环同态是结合环上李(若尔当)环的同态在结合环上的表现。设R，R′是结合环，R到R′的一个加群同态φ，若满足：

则称φ为R到R′的李(若尔当)同态。当φ是满单射时，φ称为R到R′上李(若尔当)同构。一个李同态(同构)φ，若满足φ(x)=φ(x)，x∈R，则称φ为3李同态(同构)。李同态(同构)何时是环同态(同构)?20世纪60年代为不少学者所研究，如赫尔司亭(Herstein，I.N)与克莱因菲尔德(Kleinfeld，E.)证明：单环R到单环R′上的3李同态，当ch(R)=2时是同构或反同构。一般地，朱元森于1981年证明：有1结合环R，R′且R′的中心不含零因子且ch(R′)≠2，3，则R到R′上3李同态(同构)必为同态或负反同态(同构或负反同构)。当R′是素环且(R，+)不含周期为2，3的元时，上述结论仍成立。

循环群

循环群是一种重要的群。即由一个元素生成的群。循环群分为两类：一类是有限循环群，n个元的有限循环群与模n的剩余类加群同构；另一类是无限循环群，它与整数加法群同构。循环群是特殊的阿贝尔群。循环群的子群和商群仍是循环群。

一个群*G，其中存在一个元素a，使得G中任何元素都可以表示成ak的形式(k为整数)。a称为它的生成元。循环群是一种交换群。

参考资料