更新时间：2023-11-25 18:37
自然对数是对数（拉丁文：对数）的特殊底数形式，通常以常数为底数的对数称为自然对数（natural logarithm），并把记为
1554年，德国数学家施蒂费尔（英文：M.Stifel）在《整数的算术》中指出几何级数与算术级数各项的对应关系。后来，英国数学家纳皮尔（英文：J.Napier）在研究的过程中发明了对数，创造“对数”术语（即“比的数”），并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数规律的描述》，给出了对数的相关定义和性质。随着对数的广泛流传，英国数学家奥特雷德（英文W.Oughtred）发明了以常数为底的自然对数。而在对数发明的那个时期，并没有明确的指数概念，一直到1727年，瑞士数学家欧拉（英文：Euler）在一篇未发表的手稿中才引入了作为自然对数的底，并在1770年出版的一部著作中对自然对数给出了明确的定义。
自然对数函数是底数为的对数函数，它是基本初等函数的一种，具有单调性、连续性等基本特性。利用分析学基础知识，可对其进行求导函数、求积分、求级数等运算。该函数也有特殊的几何意义。同时，自然对数函数也广泛地应用于统计学、生物学、热力学等实际问题解决中。
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。通常，以为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把记为
在科技、经济以及社会生活中经常使用以常数为底数的对数，称为自然对数（natural 对数），并把记为
根据对数的定义和对数的运算性质，如果，那么可以得出自然对数的运算性质：
1554年，德国数学家施蒂费尔在《整数的算术》中指出几何级数与算术级数各项的对应关系，并指出前一级数中两数相乘（或除）的积（或商）的指数为后一级数中对应两数之和（或差）。这给予了英国数学家约翰·纳皮尔研究对数很大的启示。纳皮尔用尽一生来研究对数，于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数规律的描述》，给出了对数的相关定义和性质以及应用，并创造“对数”术语。在这本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。
如图，假定两点以相同的初速度运动，点沿直线作匀速运动，；点沿线段(长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离。令与同时分别从出发，那么，定义为的对数。
在1690年，著名数学家戈特弗里德·莱布尼茨（英文：Leibniz）在写给克里斯蒂安·惠更斯（英文：Huygens）的信中，数作为一个数学常数第一次被正式提出，把它记为。后来，数学家莱昂哈德·欧拉对常数作了深入研究，改记为常数，并在1748年出版的书《无穷小分析引论》中，把数定义为极限，并证明了
，他取了上述公式的20项进行计算，给出了数的前18位：
数的发现与广泛使用，在数学的发展中起了重要作用。以为底的指数函数及以为底的对数函数成为了基本初等函数。
英国数学家威廉·奥特雷德是以常数为底的自然对数的发明者。但在对数发明的那个时期还没有明确的指数概念，一直到十八世纪，瑞士数学家欧拉才发现指数与对数的互逆关系。1727年，欧拉在一篇未发表的手稿中引入了作为自然对数的底，后来在1770年出版的一部著作中，首先使用次方来定义。欧拉指出，“对数源出于指数。”然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻。
一般地，函数叫做对数函数（logarithmic function），其中是自变量，定义域是当以常数为底时，函数为对数函数，记为，并称函数为的自然对数，其中是自变量，定义域是，值域是全体实数。
设函数的定义城为，值城为。一般地，如果在上不仅单值而且单调，即与一一对应，那么可以把看作自变量，看作因变量，得到的新函数称为的反函数。
根据自然对数的定义，已知可解得，那么自然对数函数的反函数为
如果存在实数，那么对于任意给定的，都可以找到一个正数，使得当时，都有成立。则称当趋于时，函数在点以为极限，记为，或者。如果不存在具有上述性质的实数，则称函数在点的极限不存在或没有极限。
导函数的定义：设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点有一增量时，函数相应地有增量，若当时，增量比的极限，即
存在，就称该极限值为函数在点处的导数，记为
或
即，这时，也称函数在点可导或导数存在。
自然对数函数的导函数：
对于对数函数 ，给自变量以增量，则
，令，则有
当时，显然有，从而
由于
那么有，即（自然对数的求导法则）
因此，自然对数函数的不定积分可通过分部积分法计算得到：
定积分的定义：设函数在区间 上连续，用分点，把区间分成等分，则每个小区间的长度为
任取，作和
则存在常数，使得，称函数在上可积。
是函数在区间上的定积分（definite 积分）。
根据定积分的定义，可得牛顿-莱布尼茨公式：
设函数在上连续，并且，则，也可写成
于是，自然对数函数的定积分可表示为：
则幂级数，
称为函数在处的泰勒级数。
自然对数的幂级数展开式
例如：将函数展开成的幂级数。
因为
且
上式两边积分可得
面积表示
如图，在笛卡儿坐标系中，曲线之下轴之上，直线和之间的面积，
当时，记作，并约定=
推论1
推论2
分析：任取一个正数，把全平面沿轴方向作一个均匀的、比例系数为的“压缩"（当时实际上是"扩张"），又沿轴方向作比例系数为的“扩张"（当时实际上是“压缩”）。
这样，一个坐标为的点，变成了坐标为的点。由于，所以曲线的点仍变到此曲线上。在这种变换下，任一个两边与轴平行的矩形仍变成这样的矩形，而且面积不变。设是这样一个矩形，且
原来矩形的面积是，变换之后，矩形的面积是
，没有变化。这是因为矩形的长缩小为原来的几分之一，宽就增大到原来的几倍。
利用无限细分、求和、取极限的面积计算原理可知，曲线之下的每块面积在
的变换中不变。这时，点变为，点变为，而变为
，故
对任意，有
至此，可以引入自然对数
证明：由基本性质，取，则当时有
同乘可得
同取指数函数的值可得
令，左右两边的极限都是
由夹逼准则可得
证明完毕。
自然对数的底e
常数是一个无理数，同时也是一个超越数，即不满足有理数域上任何代数方程的数称为超越数。在1737年数学家欧拉证明了不是有理数，后来在1873年法国数学家埃尔米特（Hermite C）应用微积分的方法，巧妙地证明了是一个超越数。
集合中的数，即形如的数叫做复数（complex number），
其中叫做虚数单位（imaginary unit），全体复数所成的集合叫做复数集（set of com-plex numbers）。复数通常用字母表示，即，这一表示形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）。对于复数，都有，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）。
对于任意，令
则称如此定义的函数，为复指数函数。
为导出其计算公式，设，则由得比较等式两边得
复对数不能定义在整个复平面上，并且它是多值函数。当取不同值时，可得它的不同的单值分支，并且每两个单值分支都相差的整数倍。通常只讨论所对应的单值分支，当时，称为的主值。
对应于的辐角主值的对数值，称为复数的对数的主值，记作。它是单值函数，即
从而有
式中，是正实数的对数，当时，，这说明主值对数是正实数对数在复数域内的推广。
对应于每一个固定的，可以得到一个单值函数，称为的一个分支。
例如，固定整数为时，对应的单值分支可表示为
那么反双曲函数可通过自然对数表示出来，表达式：
在统计学上，常用参数来描述总体的特征，但总体参数常属未知，而要进行参数估计，也就是用样本统计量来估计总体参数（包括其估计误差）。对数似然函数可用于极大似然法来估计总体参数的点估计分析。
例如：设一个含量为的随机样本取自点二项分布的总体为
求参数的极大似然估计量。
解：由已知可得似然函数及其自然对数为
求上式的导数，并使之等于零，可得
解得，的极大似然估计量为
若总体的阳性率为，当试验结果为阳性时，；为阴性时，
如果在次试验中有次为阳性，则，于是。即的估计量为样本率
在生物学上，自然对数可应用于测定草地生物学产量的植物体凋落物量的计算。草地的生物学产量是指单位面积的草地，在一定时间内积累的地上、地下或全群落（地上+地下）的净初级产量，也称为净初级生产力。凋落物量的测定凋落物是死亡并脱落到地面的植物体重量。测定凋落物量有专门的收集器，将其在到达地面前截留并保存下来，在样方中直接收集凋落物。考虑凋落物在草地上放置过久因分解而造成的损失（在湿热条件下这种损失很大），因此需要测定凋落物的平均消失率以校正凋落物量。
凋落物平均消失率的测定计算公式：
式中：是时袋中凋落物的干重；分别是间隔期的开始日期和结束日期；是自然对数。
一个不受外界影响的孤立系统，内部自动发生的过程总是向着使该系统的热力学概率增加的方向进行，可用热力学概率来判定过程进行的方向。但热力学概率是宏观态包含的微观态数目，在计算上很麻烦，为此，引入与热力学概率等价的宏观量一一，单位是。
把热力学概率取自然对数，再乘以玻尔兹曼常数，定义为熵，用表示。即 ，称为玻尔兹曼熵公式。
熵是系统状态的函数，反映系统状态趋于平衡态的程度。系统越接近平衡态，所包含的微观状态数越多，热力学概率越大，熵也越大。当系统状态改变时，熵也会随之而变。在不可逆膨胀过程，通常系统在变化过程中对外做功少于从外界吸收的热量，内能就会增加，温度会升高，分子的无规则运动加剧，从微观来看就是系统混乱程度增加，熵会增大，所以熵变与系统的吸热和升温有直接的关系。