在数学中，辛群可以指涉两类不同但关系密切的群。我们分别称之为 Sp(2n,F) 与 Sp(n)。后者有时也被称作紧致辛群以区别。许多作者偏好不同的记法，通常是差个二的倍数。本条目采用的记法与矩阵的大小相称。

Sp(2n, F)

域F上次数为2n的辛群是由2n阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群，记为。由于辛矩阵之行列式恒等于一，此群是的子群。

抽象而言，辛群可定义为F上一个维向量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的向量空间称为辛向量空间。一个辛向量空间V产生的辛群记为。

当，有)，当时，的真子群。

通常将域F取为实数域R、复数域C或非阿基米德环形山局部域，如p进数域。此时辛群是维度等于 的连通代数群。是单连通的，而 的基本群则同构于。

的李代数可以刻划为满足下列条件的阶方阵A：

其中 表示A的转置矩阵，而 是下述反对称矩阵

Sp(n)

紧辛群定义为（表四元数）上保持标准埃尔米特形式

之可逆线性变换。换言之，即四元数上的酉群。有时此群也被称为超酉群。即单位四元数构成之群，拓扑上同胚于三维球。

并不同构于之前定义的。下节将解释其间的联系。

是维之紧致、连通、单连通实李群，并满足

其李代数由满足下述关系的n阶四元数矩阵构成

其中是A的共轭转置（在此取四元数之共轭运算）。李括积由矩阵之交换子给出。

紧辛群有时称为酉辛群，记为。

相关联系

以上定义之与之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作。此李代数也就是复李群之李代数，记作。它有两个不同的实形式：

紧致形式，即之李代数。

正规形式，即。

参考资料