把A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A′。转置矩阵的形式定义为，如果矩阵A是一个m × n矩阵，那么它的转置是一个n × m矩阵，满足AijT = Aji。需要注意的是，转置矩阵AT与逆矩阵A^-1是不同的概念。

性质

1. (A^T)^T = A，转置是自身的逆运算。

2. (A+B)^T = A^T + B^T，转置保持矩阵加法。

3. (AB)^T = B^T A^T，注意因子反转的次序。

4. (cA)^T = cA^T，标量乘以矩阵的转置等于该标量乘以矩阵的转置。

5. det(A^T) = det(A)，即转置矩阵的行列式不变。

6. 如果A只有实数元素，则ATA是半正定矩阵。

7. 如果A是在某个域上，则A 相似于AT。

基本介绍

1. 对称矩阵其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，则有A^T = A。

2. 正交矩阵其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，则有GG^T = G^T G = I，其中I为单位矩阵。

3. 斜对称矩阵其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，则有A^T = -A。

4. 复数矩阵A的共轭转置，写为A^H，是A的转置后再取每个元素的共轭复数: A^H = (A̅)^T = A̅(A^T)。

特殊转置矩阵

对称矩阵、正交矩阵和斜对称矩阵是特殊的转置矩阵，它们分别满足A^T = A，GG^T = G^T G = I，以及A^T = -A的性质。此外，复数矩阵的共轭转置也是一种特殊的转置矩阵。

线性映射的转置

如果f: V→W是在向量空间V和W之间非退化双线性形式的线性映射，我们定义f的转置为线性映射tf : W→V，确定自B_V(v, tf(w)) = B_W(f(v), w)。这里的B_V和B_W分别是在V和W上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做埃尔米特伴随。如果V和W没有双线性形式，则线性映射f: V→W的转置只能定义为在对偶空间W*和V*之间的线性映射tf : W*→V*。